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基于二次有理分式拟合多能投影曲线的X射线能谱估计方法
资料介绍
在X射线计算机断层(CT)成像领域,多种应用需要准确的X射线能谱信息,包括能谱CT图像重建、CT图像硬化校正、CT图像的定量分析等.然而,由于CT系统中X光机发出的射线流强很大,X射线能谱一般难以直接测量,更为常用的方法是利用不同厚度模体的投影数据,间接估计能谱.该类方法将能谱估计问题转化为一组病态线性方程组的求解问题.为了获得较为准确的X射线能谱,通常需要测量多组投影数据,工作量大.针对该问题,本文提出一种新的X射线能谱估计方法.该方法利用二次有理分式拟合多能投影曲线,然后利用多能投影曲线上的采样点间接估计X射线能谱.由于二次有理分式参数少,因此该方法仅需少量的测量点即可拟合出高精度的多能投影曲线.实验表明:本文方法仅需要3个测量点就可以达到传统方法使用十几个测量点估计的X射线能谱的精度,显著减少了采样数量,进而减少能谱估计的工作量.仿真和实采数据都验证了方法的有效性.
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Vol． 46 No． 11
Nov． 2018
第
期
电
子
学
报
2018
11
ACTA ELECTRONICA SINICA
年
月
基于二次有理分式拟合多能投影曲线的
X
射线能谱估计方法
1，2
3
1，2
， ，
罗 婷 李孟飞 赵云松
( 1.
，
首都师范大学数学科学学院 北京
100048; 2.
，
检测成像北京高校工程研究中心 北京
100048;
3.
，
广东工业大学机电工程学院 广东广州
510006)
:
X
( CT)
，
X
，
CT
、
摘
要
在
射线计算机断层
成像领域 多种应用需要准确的 射线能谱信息 包括能谱
图像重建
射线能谱一般难以直
接测量 更为常用的方法是利用不同厚度模体的投影数据 间接估计能谱 该类方法将能谱估计问题转化为一组病态
CT
、CT
．
，
CT ，X
X
系统中 光机发出的射线流强很大
图像硬化校正
图像的定量分析等 然而 由于
，
，
．
． X ， ， ． ，
线性方程组的求解问题 为了获得较为准确的 射线能谱 通常需要测量多组投影数据 工作量大 针对该问题 本文
X ． ，
提出一种新的 射线能谱估计方法 该方法利用二次有理分式拟合多能投影曲线 然后利用多能投影曲线上的采样
X ． ，
点间接估计 射线能谱 由于二次有理分式参数少 因此该方法仅需少量的测量点即可拟合出高精度的多能投影曲
． : 3 X ，
线 实验表明 本文方法仅需要 个测量点就可以达到传统方法使用十几个测量点估计的 射线能谱的精度 显著减
， ．
少了采样数量 进而减少能谱估计的工作量 仿真和实采数据都验证了方法的有效性
．
:
X
;
;
;
关键词
中图分类号
URL: http: / /www． ejournal． org． cn
射线能谱估计 投影数据 多能投影曲线 二次有理分式
:
TP391. 4; R811. 1
:
A
: 0372-2112 ( 2018) 11-2580-08
DOI: 10． 3969 /j． issn． 0372-2112． 2018． 11． 003
文献标识码
文章编号
电子学报
X-Ray Spectrum Estimation Method Based on Polychromatic
Projection Curve Fitting with Quadratic Rational Fraction
1，2
3
1，2
LUO Ting ，LI Meng-fei ，ZHAO Yun-song
( 1. School of Mathematical Sciences，Capital Normal University，Beijing 100048，China;
2. Detecting and Imaging Engineering Research Center of Beijing Higher Institutions，Beijing 100048，China;
3. School of Electromechanical Engineering，Guangdong University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510006，China)
Abstract: Knowledge of X-ray spectrum is essential in many applications of X-ray computed tomography ( CT) ，
such as spectral CT imaging，beam hardening correction，quantitative analysis of CT images，etc． But the spectrum of an X-
ray source is hard to measure with X-ray spectrometer directly due to strong X-ray flux emitted． Other kind of attractive
methods are indirect，which estimate the x-ray spectrum from a set of projection data of phantoms with different thicknesses．
In indirect methods，the spectrum estimation problem is boiled down to a set of ill conditioned linear equations． To acquire
accurate spectrum，a large number of measurements are required，which needs heavy workload． To overcome the abovemen-
tioned obstacle，we propose a novel X-ray spectrum estimation method that first fits the polychromatic projection curve with
quadratic rational fraction，and then estimate the X-ray spectrum from the sampling points of the fitted curve． As a quadratic
rational fraction includes only three parameters，only a few measurements are needed to get an accurate fitting． Numerical ex-
periments show that the accuracy of the X-ray spectrum estimated through the proposed method with three measurements is
commensurate to that estimated with tradition method from over a dozen of measurements． Therefore，the proposed method
lessens the workloads effectively．
Key words: X-ray spectrum estimation; projection data; polychromatic projection curve; quadratic rational fraction
: 2017-11-23;
: 2018-02-04; :
责任编辑 蓝红杰
收稿日期
修回日期
:
基金项目 国家自然科学基金
( No． 61771324，No． 61401289，No． 61371195)
2581
11
: X
婷 基于二次有理分式拟合多能投影曲线的 射线能谱估计方法
第
期
罗
， X ．
后求解该方程组 估计出 射线能谱 由于二次有理分
1
引言
，
式参数少 该方法仅需少量的测量点即可拟合出高精
X
( computed tomography， CT)
简称
射线计算机断层
;
度的多能投影曲线 又因为获得了多能投影曲线的解
成像技术能够无损地再现被检测物体的内部结构信
， ，
析表达 我们可以对其密集采样 尽可能地增加能谱估
， 、 、
息 已广泛应用于医学诊断 工业无损检测 逆向工程
、
， ．
计方程组的适定性 提高求解精度 仿真和实采数据实
． CT
X
成像的准确性依赖于对 射线与
安全检查等领域
． :
验验证了方法的有效性 实验结果表明 本文方法仅需
， X
物质相互作用建模的准确性 其中 射线能谱是一个
3
要
个测量数据就可以达到传统方法使用十几个测量
［1 ～ 3］
，
CT
、CT
重要因素 尤其在能谱
成像
图像硬化校
图像的定量分析 等应用中扮演着重要角
CT
，
数据的估计精度 显著减少了对测量数据个数的需求
，
［4 ～ 6］
［7］
、CT
正
．
降低了能谱估计的工作量
．
，
X
X
色 因此 如何获取 射线能谱信息一直是 射线
2
方法
．
成像中的一个重要研究课题
X :
已有的 射线能谱获取方法可大致分为两类 直
2. 1
能谱估计模型
． X
接方法和间接方法 直接方法即使用 射线光谱仪等
， X L
在忽略散射的情况下 多能 射线沿路径 穿过
［19，22］
X ; X
设备直接测量 射线能谱 间接方法是利用 射线穿
:
物体获得投影数据的过程可由下式表示
X
过不同厚度已知材料模体的测量数据与 射线能谱
、
－
( x，E) dl
μ
∫
L
p( L) = － ln S( E) e
dE
是被测物体在点 处关于能量为 的光
; S( E)
( 1)
∫
、 ， X
模体厚度 模体衰减系数间的定量关系 建立关于 射
( x，E)
x
E
其中 μ
子的线性衰减系数
S( E) dE = 1．
， ， X
线能谱的方程组 通过求解该方程组 获得 射线能谱
，
是归一化的等效能谱 满足
． X
信息 对于 射线
CT
， X
系统 由于 光机产生的射线流
，X
强很大 射线能谱难以利用光谱仪等设备直接测量
．
X
、
该能谱与 光机的发射谱 探测器的闪
∫
．
更为常用的方法是间接方法
．
烁体以及所用滤波片的材质和厚度有关 当被测物体
， ， X
间接方法 也称为能谱估计 根据对 射线能谱描
， ( 1)
为均匀单材质物质时 式
:
可化简为
， :
述方式的不同 又可以分为两类 一类是根据物理事实
，
－
( E) H
μ
［8 ～ 13］
p = P( H) = － ln S( E) e
∫
dE
( 2)
X
建立含有未知参数的解析式来刻画 射线能谱
．
［11］ ，
如文献 中 用多项式
、Delta
函数和指数函数的组合
H ． ，
其中 为射线穿过该物体的长度 可以看到 投影数据
X ． X
来表示 射线能谱 另一类是估计离散的 射线能谱
，
H ，
是物质厚度 的函数 我们称之为多能投影曲线
．
X ， X
即将 射线的能量范围分段 估计出每一小段内 射
( 2)
． X
的离散形式 将 射线能量范围等间隔
考虑式
［4，6，14 ～ 18］
．
线光子占全部光子的比例
第一类方法的未知
N ， E， S
划分为 个小区间 小区间宽度为 Δ 相应的能谱
， ;
参数少 求解相对容易 但是该方法的准确性严重依赖
( E)
( S ，S ，…，S ) ，
被测物体的线性衰减系
N
离散化为
( E)
1
2
X ，
于解析式对 射线能谱表示的准确性 不准确的解析
(
可以离散化为 μ
， ，…， ) ．
μ μ 则多能投影的
N
数 μ
1
2
X ．
式可能会导致 射线能谱的系统性偏差 第二类方法
:
离散形式表示如下
N
，
将能谱估计问题归结为一线性方程组的求解问题 形
－
H
μi
p = － ln
S e
i
E
( 3． 1)
Δ
∑
． ， ，
式简单 但是 通常该方程组严重病态 直接求解可能会
i = 1
． ， ，
导致不准确的能谱 为克服上述困难 一方面 人们提出
或
［15］
N
，
了更为稳定的求解方法 如
EM
;
方法 等 另一方面
，
－ p
－
H
μi
e
=
S e
i
E
( 3． 2)
Δ
∑
，
通过增多测量数据量 增加方程个数来提高问题的适
i = 1
，
为简单起见 引入记号
:
． ， (
定性 在工程应用中 针对一种扫描条件 固定的电压
、
T
T
X = ( X ，…，X ) = ( S ，…，S )
1
( 4)
、 ) ，
电流 滤波片等 通常需要测量十几至几十个不同厚
1
N
N
－
H
μi
j
［4，14，19］
A = ( a ) ，a = e
j，i
E，j = 1，…，M，i = 1，…，N ( 5)
Δ
， ， ．
工作繁复 所需时间长
度模体的测量数据
j，i
－ p1
－ pM
T
B = ( e ，…，e
表示向量或矩阵的转置 则能谱估计问题就
) ( H ，p ) ，j = 1，2，
)
( 6)
间接方法测量获得的是模体厚度与投影数据之间
T
( ·)
，
， ．
的关系 确切地说是非线性多能投影曲线 该曲线具有
其中
:
M
(
． ［20］ ，
很好的光滑性和渐近特性 文献 指出 多能投影曲
是 已知 个测量数据 也称测量点
j
j
…，M，
求解如下方程组
:
．
线适合用二次有理分式来逼近 二次有理分式的参数
， ． ，
个数少 仅需少量已知点即可确定其参数值 基于此 本
AX = B
( 7)
X ．
文提出一种 射线能谱间接估计的新方法 该方法首
，
X
．
考虑到能谱的非负性 通常会对 添加非负约束
( 7) ，
严重病态 有很多文献
;
先使用二次有理分式近似多能投影曲线 然后对该曲
，
对于能谱估计问题 方程组
［15］
， X ;
线采样 并由此构造估计 射线能谱的线性方程组 最
，
研究该问题的稳定求解算法 如
EM
、
截断奇异值分
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