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图论中的最大权闭合图与最小割：网络流的建模艺术.docx
资料介绍
图论中的最大权闭合图与最小割：网络流的建模艺术
最大权闭合图（Maximum Weight Closure）是最小割问题在"带依赖的选择问题"中的经典应用。它通过巧妙的网络流建模，把"选择收益与成本权衡、满足依赖关系"的优化问题转化为最小割求解。本文剖析这一建模艺术，展示网络流的强大抽象能力。
闭合图与最大权闭合图
闭合图（Closure）：有向图中的顶点子集 
，满足"若某顶点在 中，则它的所有后继顶点也必须在 中"。即闭合图对"向后继传播"是封闭的。
最大权闭合图：顶点带权值（可正可负），求权值和最大的闭合子图。
问题背景：选择某些项目（有收益/成本），但选项目需满足依赖（选某项目须先选其前置项目），求最大净收益。这正是"闭合图"的结构。
建模为最小割
最大权闭合图问题可用最小割建模，思路如下：
1. 源点 连所有正权点：容量为正权值（表示"选它获得收益"）。
2. 所有负权点连汇点 ：容量为负权值的绝对值（表示"选它付出成本"）。
3. 依赖关系 连边：容量为无穷大（强制依赖，保证割的合法性）。
结论：最大权闭合图的权值 = 正权值之和 - 最小割容量。
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