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动态规划中的背包计数与方案数统计.docx
资料介绍
动态规划中的背包计数与方案数：多重与组合优化
背包问题前文已介绍方案数统计的基本形式。本文深入背包计数：多重背包、组合优化中的方案数统计，以及"求最优方案数""恰好满足条件的方案数"等进阶主题。
背包方案数回顾
背包方案数把"取max"改为"求和"，
表示"容量 的方案数"。
c
// 0/1背包方案数（恰好装满）
vector<int> dp(C + 1, 0);
dp[0] = 1; // 容量0方案数1（空）
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = C; j >= w[i]; j--)
dp[j] += dp[j - w[i]];
前文已介绍基本方案数，本文深入多重背包与组合优化的计数。
多重背包方案数
多重背包方案数（每种物品有限数量 ）需避免重复计数。处理方法是按物品类型分组递推（外层枚举物品种类，避免顺序重复）：
c
// 多重背包方案数（每种c_i个）
// 按种类外层递推，避免重复
dp[0] = 1;
for (每种物品 i) {
// 完全背包式正序，但限制数量c_i
for (int j = C; j >= w[i]; j--) {
for (int k = 1; k <= c[i] && j >= k*w[i]; k++)
dp[j] += dp[j - k*w[i]];
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