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中国剩余定理的实战应用：同余方程组与线性求逆元.docx
资料介绍
中国剩余定理的实战应用：同余方程组与线性求逆元
中国剩余定理（CRT）是数论中一个古老而重要的定理，它解决"多个同余方程联立"的问题。在模数两两互质的前提下，中国剩余定理可以高效地求出满足一组同余条件的最小解。它在密码学、整数分拆、算法竞赛中有广泛应用。
同余方程组问题的引入
生活中常有这类问题：某个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？这正是同余方程组：
中国剩余定理解决的就是这种"多个同余条件"的联立求解。它的强大之处在于：只要模数两两互质，就一定有唯一解（在模乘积的范围内），并且这个解可以高效构造出来。
中国剩余定理的实现
实现中国剩余定理的关键是求出 在模 下的逆元 ，可用扩展欧几里得算法完成。
c
// 扩展欧几里得：求 ax+by=gcd(a,b)
long long exgcd(long long a, long long b, long long& x, long long& y) {
if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }
long long g = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return g;
}
// 中国剩余定理：模数两两互质
long long crt(vector<long long>& a, vector<long long>& m) {
long long M = 1;
for (auto mm : m) M *= mm;
long long ans = 0;
for (int i = 0; i < m.size(); i++) {
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