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基于Python和梯度下降算法的物理实验数据一元线性拟合方法

更新时间：2019-12-24 07:50:31 大小：1M 上传用户：songhuahua查看TA发布的资源 标签：python 下载积分：1分 评价赚积分 （如何评价?） 打赏 收藏 评论(0) 举报

资料介绍

介绍了用Python实现梯度下降算法的方法.以3个大学物理实验(光电效应测量普朗克常量、光泵磁共振测量朗德因子以及偏振光实验验证马吕斯定律)为例,用相关系数r和拟合优度R~2作为指标,检验梯度下降算法对物理实验数据线性拟合处理的效果,对以Python和梯度下降算法为切入点,了解深度学习和人工智能算法有启发意义.


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基于Python和梯度下降算法的物理实验数据一元线性拟合方法.pdf 1M

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2019  
10  
期
年第  
物理通报  
教育技术应用  
Python  
基于  
和梯度下降算法的物理  
实验数据一元线性拟合方法  
关毅铬  
程敏熙  
(
510006)  
华南师范大学物理与电信工程学院  
广东 广州  
(
: 2019-03-04)  
收稿日期  
:
要 介绍了用  
Python ． 3 ( 、  
实现梯度下降算法的方法 以 个大学物理实验 光电效应测量普朗克常量 光泵磁共  
摘
2
R ，  
振测量朗德因子以及偏振光实验验证马吕斯定律 为例 用相关系数 和拟合优度 作为指标 检验梯度下降算法  
)
，
r
，
对物理实验数据线性拟合处理的效果 对以  
Python  
，
和梯度下降算法为切入点 了解深度学习和人工智能算法有启  
．
发意义  
: Python  
关键词  
梯度下降法  
线性拟合  
大学物理实验  
n
，
回归分析中 只包括一个自变量和一个因变  
1
2
－
+
( b m x ) ］  
i
［y  
∑
i
N
=
1
， ，  
量 且二者的关系可用一条直线近似表示 这种回归  
i
i i ，N ．  
这里 表示第 个数据 表示总的样本个数 把  
．
分析称为一元线性回归分析 梯度下降法是一种最  
m b ．  
这个损失方程看作是 和 的方程 作为一个  
m
b
和
，
优化算法 常用于机器学习和人工智能中用来递归  
，
的二次方程 那么求损失函数最小值的问题就转变  
， ， ，  
性地逼近最小偏差模型 对数据量大 关系复杂 很  
［1］  
．
成了求极值问题 我们可以用梯度下降法求解  
m
b
和
．
难得到解析解的函数关系来说十分有效  
它是迭  
．
的值以确定拟合直线  
，
．
代法的一种 可以用于求解最小二乘法问题 所以我  
们也可以用梯度下降法来处理呈线性关系的实验数  
．
据
1
梯度下降法的介绍  
1．1  
梯度下降法  
，
一元线性回归其实就是去找到一条直线 这条  
．
直线能以最小的误差来拟合数据  
1 ， x， y．  
如图 所示 横坐标表示 纵坐标表示 一元  
=
+
mx  
， y  
线性回归要找的就是图中的这条直线 用  
b
． ，  
表示 但是 所有的点都在这条拟合直线上肯定不现  
， ．  
实 所以这些点要尽量靠近这条直线 即去找每个点  
=
+
m x  
y
b
．
最小的那条线 为了简  
和直线的距离  
ie  
i
， ，  
单起见 将绝对值转化为平方 那么误差可以表示为  
n
1
2
=
－
=
Loss  
( y  
1
y )  
∑
ie  
i
1
图
一元线性回归拟合原理  
N
=
i
，
为了更好地理解梯度下降法 这里把损失函数  
:
作者简介 关毅铬  
( 1996- ) ， ， ， (  
男 在读硕士研究生 研究方向为学科教学 物理  
) ．  
:
通讯作者 程敏熙  
( 1962- ) ， ， ， ， 、 ．  
男 博士 副教授 研究方向为光电技术与系统 物理实验设计  
— 92 —  
2019  
10  
期
年第  
物理通报  
教育技术应用  
) ．  
， ，  
想象成一个碗 而函数的最小值就是碗底 如图  
最优点  
实现梯度下降法的主要  
def  
learning_rate，num_iter) :  
Python  
．
代码如下所示  
2( a)  
． ，  
所示 不管位于这个碗的什么位置 只要往下  
optimizer( starting_b，starting_m，  
， ，  
走 也就是往梯度方向走 沿着梯度一点一点滑下  
， ．  
去 就能达到这个最低点 梯度就是下面两个式子  
．
n
=
b
starting_b  
1
2
+
( m b x ) ] }  
－
{
[ y  
∑
i
i
=
m starting_m  
for i in range( num_iter) :  
N
Loss  
i
=
=
m
m
n
=
b，m  
compute_gradient( b，m，  
2
2
－
－
+
( b m x ) ]  
x [ y  
∑
i
i
i
N
learning_rate)  
return ［b，m］  
compute_gradient( b_current，m_current，  
learning_rate) :  
b_gradient  
=
i
1
n
1
2
+
( b m x ) ] }  
－
{
[ y  
∑
i
i
N
def  
Loss  
i
=
=
b
b
n
=
2
0
2
－
－
+
( b m x ) ]  
[ y  
∑
i
i
N
=
i
1
=
m_gradient 0  
， ，  
接下来就要定义步长 用来表示每次滑多长 再  
=
N
float( len( data) )  
= －  
，
定义一个迭代值用来表示滑多少次 这样就能一点  
－
b_gradient  
( 2 /N) * ( y  
－
m_current* x b_current)  
． ，  
一点地靠近最小值 定义好这两个值 计算机就可以  
=
=
np．sum( b_gradient，axis 0)  
b_gradient  
， ，  
一边求梯度 一边向下滑 去更新  
m
b，  
和 最后得到  
= －  
－
( 2 /N) * x* ( y  
m_gradient  
m
b
．
的值  
损失函数最小时对应的  
和
－
m_current* x b_current)  
=
=
m_gradient  
np．sum( m_gradient，axis  
0)  
=
－
( learning_rate *  
new_b  
b_current  
b_gradient)  
new_m  
m_gradient)  
return ［new_b，new_m］  
检验拟合结果的指标  
=
－
( learning_rate *  
m_current  
1．2  
m
b ， ．  
和 的具体数值 即找到了拟合的直线  
求出  
r
一般数据处理中会用相关系数 检验两变量的相关  
2
，
性 用拟合优度  
R
．
检验回归直线的拟合程度  
，
相关关系是一种非确定性的关系 相关系数是  
．
研究变量之间线性相关程度的量 相关系数又叫线  
， r ，  
性相关系数 一般用字母 表示 用来度量两个变量  
． r  
间的线性关系 当 接近于  
± 1  
，
时 可以说两个变量  
2
．
图
梯度下降法示意图  
相关性比较好  
［2］  
．
也可以这样理解梯度下降法 如图  
2( b)  
，
所示  
相关系数公式为  
－
－
，
每一个圈代表一个函数梯度 最中心表示函数极值  
－
－
y)  
( x  
x) ( y  
∑
i
i
=
r
， (  
点 每次迭代根据当前位置求得的梯度 用于确定  
－
－
2
2
－
－
y)  
( x  
x)  
( y  
∑
i
∑
i
槡
)
搜索方向以及与步长共同决定前进速度 和步长找  
．
拟合优度是指回归直线对观测值的拟合程度  
，
到一个新的位置 这样不断迭代最终到达目标函数  
2
2
R ．R  
度量拟合优度的统计量是可决系数  
最大值为  
( ，  
局部最优点 如果目标函数是凸函数 则到达全局  
2
1．R  
1，  
的值越接近 说明回归直线对观测值的拟合  
— 93 —  

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