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基于LMI的输出反馈μ控制器求解

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资料介绍

D-K算法是结构奇异值(μ)方法的主要实现方式,存在着求解条件较苛刻、系统适用性差的问题,针对D-K算法应用的局限性,提出将线性矩阵不等式(LMI)用于D-K算法的改进,即通过Schur引理与有界实引理得到了结构奇异值上界的LMI判据,利用消元法得到了输出反馈的H∞控制器,在此基础上通过D-K迭代解出输出反馈μ控制器,避免了因求解Riccati方程受到求解条件的限制以及待定参数选择好坏的影响,增强了D-K算法对一般系统的适用性并提高了求解效率.数值结果表明,该方法得到的输出反馈系统的鲁棒稳定性及鲁棒性能均优于传统D-K算法.

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0ctober 2016

V01．42 No．10

北京航空航天大学学

2016年

10月

Astronautics

of Aeronautics and

Journal

第42卷第10期

Beijing University

http：ffbhxb．buaa．edu．cn

．edu．en

OOI：10．13700／j．bh．1001-5965．2015．0556

基于LMI的出反弘控制器求解

李苗，高元楼+，李佩林

(北京航空航天大学自化科学与气工程学院，北京100083)

摘

要：D— K算法是构奇异 (p)方法的主要

方式，存在着求解条件苛刻、

系

适用性差的

，

D．K算法用的局限性，提出将性矩不等式(LMI)用于D— K

算法的改，即通 Schur引理与有界引理得到了构奇异上界的LMI判据，利用消元法

得到了出反的日。控制器，在此基上通 D-K迭代解出出反肛控制器，避免了因求

解Riccati方程受到求解条件的限制以及待定参数

好坏的影响，增了D— K算法一般系

定性及

的适用性并提高了求解效率。数果表明，方法得到的出反

系

的棒

棒性能均

关

于

D．K算法。

构奇异

：

；

性矩不等式(LMI)；出反；控制器；棒性能

中

分

号：TPl31

：A

文献

文章号：1001-5965(2016)10— 2231— 07

trix

构奇异肛理于1982年被文献[1．2]提

出，由于采用Small-／x方法减少了棒判据的保

守性同在一定程度上兼性能棒性，因而可

Inequality，BMI)的肛方法，但迄今止，BMI

和NMI的数算法未成熟。Chen¨1和Fu¨1等

Matrix Ine．

出了基于性矩不等式(Linear

以精确地理具有混合不确定性系

的

棒分析

quality，LMl)的p分析方法，方法具有良好的数

，一直是棒控制理研究中的重点

性

(多

更加有效地

运用LMI方法行肛分析的关在于：

式

复

度)，使得方法能

4|。

理

控制工程中的

。

之一‘3

由于p

提出的D．K迭代法行求解，基本思想是利用肛

的上下界函数行多次迭代逼近求近似解。

的D．K迭代采用日。的方法控制器，涉

以得到精确解，通常采用Doyle⋯

日。控制器的求解

将形如式(7)所示的Riccati

不等式根据Schur 的性等价化成一个LMI

可行性

到有效放。但文献[7— 8]的理方法仍然存在

一定的局限性，即只能行状控制器

，不但降低了求解度，可解条件也得

及Riccati方程的求解，尽管Riccati方程理方法

可以出控制器的构形式便于行理分析，

但是求解前往往需要确定待定参数，些参数的

反

，

需要附加状

无能力。

器，当状信息

以

得

直接影响

的好坏，此外无法理病

状

矩

系

的

棒

。

了弥以上所述各种方法不足，本文在文

献[7，9]的基上，行基于LMI的出反

控

些不足，相关学者提出了一些具有

展潜力的新的研究方向。文献[545]分提出了

制器

凸

，运用LMI方法出了

性可解的

，并同

Matrix Ine—

束条件以改善D-K迭代的最

解

基于非性矩不等式(Nonlinear

Ma-

文献[10]提出的一种改 D．K迭代、PID算法

quality，NMI)和双性矩不等式(Bilinear

收稿日期：2015-08-31；用日期：2015— 11-27；网出版

：2016-01-05 10：42

网

出版地址：WWW．cnki．net／kems／detail／11．2625．V．20160105．1042．003．html

}通作者：Tel．：010-82339757 E— mail：gaoyuanlou@263．net

；f用格式：李菇，高元楼，李佩林．基于LMI的出反 p控制器求解fJj．北京航空航天_大学学，2016，42(10)：2231— 2237．

based on

p ^controller

LMI【】]．Journal

Z，GAO

and

L．Solution of

feedback

of Aeronautics

Bering University

L，LI

output

Astronautics，2016，42(io)：2231— 2237(in Chinese)．

万方数据

2232

北京航空航天大学学

2016年

行比。数

算表明解出的控制器具有好

式中：S¨

方

，以下条件等价：

棒

定性和棒性能，本方法增了弘分析

病

1)S<0

状

矩

系

的适用性。

2)S11<0，S22一STl26ll-1S12<0

3)S22<0，S。。一S12s s：2<0

知

其中：S：：一sT。：6。-。1S．：或s。。一s。：s五1sT2称

矩 S

的Schur 。当5

性矩

量

上述等价关

了一

1．1参数

肛

模型

可描述成：

系也明了条件2)和3)中的NMl分

定

定不确定量集合△，

个关于量的凸束。在控制

如式(7)的Riccati不等式：

中

常遇到形

y∈R+及称系 G(s)∈日。空

suP肛。(G(j∞))<y

。

(1)

A1P+PA+PBR一181P+Q<0

(7)

式中：sup

构奇异弘的上确界。

G(s)有以下状

式中：A，曰，Q=Q7>0，R=R’>0 适当数的

系

空

：

常数矩；P

可以将Riccati不等式的

价的如式(8)所示LMI的可行性

称矩

量。根据Schur

的

(2)

G(5)～(A。。。，B。。。，C。。。，E。。。)

性

化成一个等

式中：n

状

数；m 控制

入

数。

。

在如 1所示的出反系中的状

方程：

l‘

fAJ“，+Q 1<0

(8)

— RJ

，z=Az十BltO+B2u

1．2．2有界引理

(3)

{z=c1工+Ell∞+E12搿

y>0，系 G(s)的状

空

矩

(A，

I．y

C2X+E2l∞+E22H

B，C，E)，以下条件等价：

式中：

差；

状

矢量；tO 外部

；z

出

1)系

近定，且||G(s) <y

控制入；y 量出。

2)存在一个称矩 P>0，使得

∞】=：叵E。

rA7P+PA

曰7P

(9)

一7，

’I<0

L刮y

E。

一v—

— y，j

出反

系

模型

feedback

model

Fig．1

Output

system

D．K迭代的LMI表述

定

定非整数rxM及非整数数

2．1

D求解

{k。，k：，⋯ ，k，}，{l。，f：，⋯ ，z，}，{f。，f：，⋯ ，2。}，

有的D．K迭代算法可描述

定

集合

∑zi+∑t=m

一

D：={diag(D”D妒⋯ ，D女。，djIl，d2J2，⋯ ，矗。f。)}

不确定集合五cC““定

D。=Di*>0，Di∈C缸 ‘，d，>0}

(10)

△={diag(kl，￡，，后2，f：，⋯ ，krll，，△l。，△z：，⋯ ，△!。)I

inf

^stabllizeU

求

inf孑(Dt(G，K)D。1)‘121。式(10)

sup

上，E工，

k．∈R，f ki f≤ 1；△』∈co“，孑(△，)≤ 1}(4)

式中：孑(· )表示矩奇异上确界。

∞

中：Di*

矩

D。的共

置；F。(G，x)表示系

构奇异

定

G与控制器K形成

利用LMI并迭代解出化后的K，需要得

到式(10)的LMI描述，不要用系数矩

表述以方便置求解，要将非性不等式条件

性不等式矩的形式。下面利用Schur

系

的下

性

。

系

G)_{⋯ (minl、孑瞄篙det脚(1-㈤。0∽。

(5)

成

1．2矩不等式

1．2．1

Schur引理[⋯

引理和有界引理

推

。式(10)的初

在将NMI

的Schur

化

LMI的

中，常用到矩

称矩

步等价描述：求D∈西使得

性

。具体描述如下：考

(1 1)

s1：!!pllor：(G，lr)D— J|<1

S∈R”4，并将S 行分

：

初始控制器状

矩

(A。，B。，C。，E。)，

出反

系

状

矩

(A。，，B C

(6)

s畦

。．)，易知

万方数据

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