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控制方向未知的全状态约束非线性系统的鲁棒自适应跟踪控制

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针对一类控制方向未知的含有时变不确定参数和未知时变有界扰动的全状态约束非线性系统,本文提出了一种基于障碍Lyapunov函数的反步自适应控制方法.障碍Lyapunov函数保证了系统状态在运行过程中始终保持在约束区间内;Nussbaum型函数的引入解决了系统控制方向未知的问题;光滑投影算法确保了不确定时变参数的有界性.障碍Lyapunov函数、Nussbaum型函数及光滑投影算法与反步自适应方法的有效结合首次解决了控制方向未知的全状态约束非线性系统的跟踪控制问题.所设计的自适应鲁棒控制器能在满足状态约束的前提下确保闭环系统的所有信号有界.通过恰当地选取设计参数,系统的跟踪误差将收敛于0的任意小的邻域内.仿真结果表明了控制方案的可行性.

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控制理论与应用

Control Theory & Applications

第 35 卷第 2 期

2018 年 2 月

Vol. 35 No. 2

Feb. 2018

DOI: 10.7641/CTA.2017.70389

控制方向未知的全状态约束非线性系统的鲁棒自适应跟踪控制

王春晓^1,2†, 武玉强²

(1. 山东建筑大学理学院, 山东济南 250101; 2. 曲阜师范大学工学院, 山东日照 276826)

摘要: 针对一类控制方向未知的含有时变不确定参数和未知时变有界扰动的全状态约束非线性系统, 本文提出

了一种基于障碍Lyapunov函数的反步自适应控制方法. 障碍Lyapunov 函数保证了系统状态在运行过程中始终保持

在约束区间内; Nussbaum型函数的引入解决了系统控制方向未知的问题; 光滑投影算法确保了不确定时变参数的

有界性. 障碍Lyapunov函数、Nussbaum型函数及光滑投影算法与反步自适应方法的有效结合首次解决了控制方向

未知的全状态约束非线性系统的跟踪控制问题. 所设计的自适应鲁棒控制器能在满足状态约束的前提下确保闭环

系统的所有信号有界. 通过恰当地选取设计参数, 系统的跟踪误差将收敛于0的任意小的邻域内. 仿真结果表明了

控制方案的可行性.

关键词: 障碍Lyapunov函数; Nussbaum增益控制; 未知控制方向; 全状态约束; 自适应控制

引用格式: 王春晓, 武玉强. 控制方向未知的全状态约束非线性系统的鲁棒自适应跟踪控制. 控制理论与应用,

2018, 35(2): 153 – 161

中图分类号: TP273

文献标识码: A

Robust adaptive tracking control for full state-constrained nonlinear

systems with unknown control direction

WANG Chun-xiao^1,2†, WU Yu-qiang²

(1. School of Science, Shandong Jianzhu University, Ji’nan Shandong 250101, China;

2. Institute of Automation, Qufu Normal University, Rizhao Shandong 276826, China)

Abstract: To consider a class of full state-constrained nonlinear systems with completely unknown control coefﬁcients,

uncertain time-varying parameters and disturbances, a Barrier Lyapunov function (BLF) based adaptive robust control

design method is proposed. BLFs are to ensure that the full state constraints be not violated, the unknown control direction is

resolved effectively by the Nussbaum gain function and the boundedness of uncertain time-varying parameters is guaranteed

by using the continuous projection algorithm. It is the ﬁrst time that the BLF, Nussbaum gain function and continuous

projection algorithm effectively combine with backstepping adaptive control to solve the tracking control problem for full

state-constrained nonlinear system with unknown control direction. As shown as the control result, all the closed loop

signals are bounded and full state constraints are not violated. Moreover the system output tracking error will converge to

a bounded compact set of zero through select proper parameters. At last, The effectiveness of the proposed control scheme

is further veriﬁed with a numerical example.

Key words: barrier Lyapunov function; Nussbaum gain control; unknown control direction; full state constraints; adap-

tive control

Citation: WANG Chunxiao, WU Yuqiang. Robust adaptive tracking control for full state-constrained nonlinear systems

with unknown control direction. Control Theory & Applications, 2018, 35(2): 153 – 161

1 引言(Introduction)

器饱和等^[1–4]. 如出于对汽车发动机的保护及驾乘人

员舒适性、安全性的考虑, 会对汽车的加速度和速度

加以限制; 平面移动机器人的工作空间是受限的, 机

器人不能超限运动. 如果在控制设计过程中不考虑这

实际系统由于需要考虑安全性或执行器的物理限

制、机械制造等方面原因使得控制系统中的约束是广

泛存在的, 常见的约束有状态约束、输出约束及执行

收稿日期: 2017−06−8; 录用日期: 2017−11−08.

^†通信作者. E-mail: ; Tel.: +86 15165181660.

本文责任编委: 陈杰.

国家自然科学基金项目(61673243, 61273091, 61303198), 山东省泰山学者项目(TS20120529), 中国教育部博士后基金项目(20123705110002)资

助.

Supported by the National Natural Science Foundation of China (61673243, 61273091, 61303198), the Project of Taishan Scholar of Shandong

Province (TS20120529) and the PhD Programs Foundation of Ministry of Education of China ( 20123705110002).

154

控制理论与应

用

第 35 卷

些约束条件, 依然应用原来的基于无约束条件下的控

制设计方法, 将造成系统性能的恶化、闭环系统不稳

定, 甚至设备损坏影响财产及人身安全.

知的非线性控制系数, 我们将两者集结在一起构造新

的向量, 利用光滑投影算法设计统一的自适应律保证

了不确定时变参数的有界性.

近年来, 约束控制系统的分析与设计问题受到人

3) 对于时变扰动, 只需要假设它有界, 而在控制

器的设计中无需用到该界限, 就可达到扰动衰减.

们的广泛关注, 并取得了一些卓有成效的成果^[5–13]

处理受约束系统的主要方法包括模型预测控制^[5]、基

于不变集理论的控制器设计^[6–7]、无模型映射学习控

制^[8–9]和基于极值搜索方法的控制^[10]等. 此外, 受重

构Lyapunov函数思想的启发, 障碍李雅普诺夫函数

(barrier Lyapunov function, BLF)与反步法的结合已

逐渐应用于含有状态和输出约束的非线性系统的控

制中^[1,12–20]. Ngo等针对含状态约束的Brunovsky标

准型系统, 以约束区间为定义域构造Lyapunov函数,

完成反演设计^[14]. 借鉴Ngo等人的思想, 文献[15]首

次给出了BLF的定义, 针对严格反馈非线性系统采用

基于BLF的反演设计方法, 保证系统输出有界. 此外,

文献[16–17]分别讨论了含有部分状态约束及全状态

约束的严反馈非线性系统的控制问题. 文献[1]针对全

状态约束的机器人系统, 基于BLF设计了自适应神经

网络控制器, 处理了系统的不确定性和扰动.

2 问题描述及预备知识 (Problem description

and preliminaries)

2.1 问题描述(Problem description)

考虑一类含有未知控制系数和不确定参数的严反

馈非线性系统

■

x˙_i=g_i(x¯_i)x_i+1+ θ^T(t)ψ_i(x¯_i) + d^T(t)ϕ_i(x¯_i),

x˙_n=g_n(x¯_n)u+ θ_n^T(t)ψ_n(x¯_n)+d^T_n(t)ϕ_n(x¯_n),

ꢀ

ꢁ

ꢀ

ꢂ

y = x₁, i = 1, 2, · · · , n − 1,

(1)

其中: x¯_i= (x₁· · · x_i)^T∈ R , u ∈ R, y ∈ R 分别为

系统的状态向量、控制输入以及系统输出; g_i(x¯_i) = 0

为有界的不确定非线性分段光滑函数, 代表了系统的

未知控制方向; 不确定时变参数向量θ_i(t) ∈ Ω_i⊂R ,

其中: Ω_i是以原点为圆心, r_Ω为半径的闭球域; d_i(t)

上述基于BLF的约束非线性系统的控制均要假定

控制系数已知或者至少控制方向已知. 控制变量前面

的控制增益的符号决定着系统的运动方向, 所以称

之为控制方向, 它在控制器设计中具有重要作用.

Nussbaum于1983年首次提出的著名Nussbaum增益技

术^[21]成为解决未知控制方向问题的一种重要的工具,

并在自适应控制领域得到了快速发展^[22–26]. 文献

[22]考虑了一类含有未知控制相关系数的严反馈时变

不确定非线性系统的自适应鲁棒控制问题. 文献[23]

利用基于动态面的神经网络控制技术解决了控制方

向未知的含有输入饱和的严反馈非线性系统的跟踪

控制. 文献[24]采用部分限幅的鲁棒自适应方法研究

了一类含有未知控制方向的非线性系统. 这些研究推

动了控制方向未知的非线性系统的发展, 然而, 这些

文献均没有考虑系统状态受限的问题. 当控制方向未

知与状态受限、未知扰动同时发生时, 这给控制器的

设计提出了新的挑战. 文献[25]在假定未知控制增益

及不确定参数都是常数的前提下, 讨论了控制方向未

知的不确定全状态约束非线性系统的自适应控制设

计. 对于更有挑战性的时变未知增益、时变不确定参

数以及时变未知扰动的情况并未涉及.

∈ R 为未知时变有界扰动向量, ψ_i, ϕ_i为已知的适当

维数的非线性函数.

本文的控制目标为: 针对非线性系统(1), 设计自

适应鲁棒控制律, 使得: a) 系统的输出跟踪误差收敛

于一个以原点为中心的小邻域内; b) 闭环系统所有信

号有界; c) 满足状态约束条件: |x_i| ＜ k_c, k_c为已知

的正常数(i = 1, · · · , n).

为达到控制目标, 做如下假设:

假设 1 系统输出跟踪信号y_d(t)连续n阶可微,

满足|y⁽ⁱ⁾(t)| ≤ Y_i, Y_i为正常数, i = 0, · · · , n.

假设 2 假设控制系数g_i(x¯_i), i = 1, · · · , n是时

变有界的, g_i(x¯_i) = 0且控制系数符号未知.

注 1 g_i(x¯_i)代表了系统的控制方向, 在已有文献中大

部分都假定控制相关系数g_i(x¯_i)已知且符号固定^[12,15–17], 或

者g_i(x¯_i)未知但至少控制方向已知^[13,19]. 本文首次探讨了未

知时变控制相关系数的状态约束控制问题, 当未知参数

θ_i(t)和未知控制相关系数g_i(x¯_i)均为未知常数, 并且扰动消

失, 即d_i(t) = 0, 则系统(1)即为文献[25]中所讨论的严格反

馈系统. 所以, 模型(1)更具一般性.

2.2 预备知识(Preliminaries)

基于以上观察, 本文采用自适应反演控制方法研

究了一类含有未知控制方向及未知扰动的不确定非

线性全状态约束系统, 主要创新概括如下:

1) 传统的基于BLF的反演自适应方法不能解决

控制方向未知和状态受限的双重问题, 本文通过引

入Nussbaum增益函数,采用新的反演技术设计出有效

的控制律, 使得在满足状态约束的前提下闭环系统的

所有信号有界.

Nussbaum函数增益方法可用于处理不确定系统

的控制系数或虚拟控制系数符号未知的问题, 为此,

首先给出Nussbaum函数的定义及相关引理.

定义 1^[21]如果连续函数N(ζ)满足

■

lim sup

N(ζ)dζ = +∞,

N(ζ)dζ = −∞,

(2)

(3)

r→∞

■

lim inf

r→∞

2) 所研究的系统含有时变不确定参数和完全未

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