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区间变时滞不确定系统鲁棒稳定性分析
资料介绍
本文针对一类线性区间变时滞不确定系统的鲁棒稳定性分析问题进行了研究.基于时滞中点法和凸组合技术,借助于构造一个包含四重积分项的新Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函,并利用积分不等式方法给出了LMI(Linear Matrix Inequality)形式的时滞相关稳定性新判据.与已有文献相比,该判据能大大降低理论推导和计算上的复杂性.最后通过三个具有代表性的数值例子对比验证了本文所提出方法在降低结论保守性方面的优越性.
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Vol． 46 No． 4
Apr． 2018
第
期
电
子
学
报
2018
4
ACTA ELECTRONICA SINICA
年
月
区间变时滞不确定系统
鲁棒稳定性分析
1
1
2
1
1
3
， ， ， ， ，
吴玉彬 张合新 惠俊军 李国梁 周 鑫 杨田光
( 1．
，
火箭军工程大学 陕西西安
710025; 2．
150
11
，
分箱 陕西宝鸡
721013;
宝鸡市
信箱
3．
，
西北工业大学航天学院 陕西西安
710072)
:
．
本文针对一类线性区间变时滞不确定系统的鲁棒稳定性分析问题进行了研究 基于时滞中点法和凸组
摘
要
，
合技术 借助于构造一个包含四重积分项的新
Lyapunov-Krasovskii( L-K) ， LMI
泛函 并利用积分不等式方法给出了
( Linear Matrix Inequality)
． ，
形式的时滞相关稳定性新判据 与已有文献相比 该判据能大大降低理论推导和计算上的复
．
杂性 最后通过三个具有代表性的数值例子对比验证了本文所提出方法在降低结论保守性方面的优越性
．
:
; Lyapunov-Krasovskii ( L-K)
;
;
;
关键词
中图分类号
URL: http: / /www． ejournal． org． cn
区间变时滞
泛函 鲁棒稳定 凸组合技术 四重积分
0372-2112 ( 2018) 04-0975-09
DOI: 10． 3969 /j． issn． 0372-2112． 2018． 04． 028
:
TP13
:
A
:
文章编号
文献标识码
电子学报
Novel Robust Stability Condition for Uncertain Systems with
Interval Time-Varying Delay
1
1
2
1
1
3
WU Yu-bin ，ZHANG He-xin ，HUI Jun-jun ，LI Guo-liang ，ZHOU Xin ，YANG Tian-guang
( 1． Rocket Force University of Engineering，Xi’an，Shaanxi 710025，China; 2． MailBox 150 Extension 11，Baoji，Shaanxi 721013，China;
3． School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an，Shaanxi 710072，China)
Abstract: In this paper，the problem of robust stability analysis for a class of linear uncertain systems with interval
time-varying delay is studied． In order to develop a less conservative stability condition，a Lyapunov-Krasovskii functional
comprising quadruple-integral term is introduced． A novel delay dependent stability criterion in terms of linear matrix ine-
qualities ( LMIs) is given by using delay-central-point ( DCP) method and reciprocally convex combination technique，
which is derived by integral inequality method． Compared with the existing literature，this criterion can greatly reduce the
complexity of theoretical derivation and computation． Finally，three well-known numerical comparative examples are given to
verify the superiority of the proposed approach in reducing the conservation of conclusion．
Key words: interval time-varying delay; Lyapunov-Krasovskii functional; robust stability; reciprocally convex combi-
nation; quadruple-integral term
［1 ～ 33］
．
门的研究领域
针对区间时滞系统的稳定性分析 最常见的方法
Lyapunov-Krasovskii
1
引言
，
，
现实世界的许多动力学模型系统 例如网络控制
是采用基于时域内直接构造
泛函
来对其稳定性进
行分析 在这一框架下 如何降低所得结论的保守性便
、 ，
系统 过程控制系统以及核反应堆控制系统等 在数据
( LKF)
( LMI)
并结合线性矩阵不等式
， ．
和物质的传输过程中 都包含非常明显的时滞 在众多
．
，
， ，
的时滞类型中 区间变时滞更具代表性 它的时滞下界
． ，
成为大家关注的热点问题 就分析方法而言 有增广泛
， ，
不一定为零 且时滞处于一个变化的区间之内 常见于
， ， ．
函法 自由权矩阵方法 时滞分割方法等 这些方法的共
、 ．
化学反应器 内燃机和网络控制等工程实际应用中 因
，
同点在于能充分利用系统的时滞信息 因而对于结论
，
而近年来 区间变时滞系统的稳定性分析成为一个热
．
保守性的降低都能产生积极的作用 但是随着矩阵变
: 2016-12-14;
: 2017-04-07; :
责任编辑 孙瑶
收稿日期
修回日期
:
基金项目 国家自然科学基金
( No． 61374120)
976
2018
年
电
子
学
报
=
[
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0]．
量的过多引入以及分割数目的不断增加势必给理论分
; ，
析和工程计算带来负担 于是 积分不等式作为一种新
2
问题描述
， ，
颖的分析方法受到大家青睐 它所具有的形式简单 含
:
考虑如下线性区间变时滞不确定系统
矩阵变量少的特点注定会给时滞系统的稳定性分析带
［2］
x( t) = ( A + A( t) ) x( t) + ( B + B( t) ) x( t － h( t) )
Δ
Δ
．
来推动作用 例如
Gu
Jensen’s
最早把 不等式引入到
［9，10］
{
x( t) = ( t) ，t ［－ h ，0］
φ ∈
M
，
时滞系统的稳定性分析中 随后
Ramakrishnan
和
［11］
Zhang
Jensen’s
，
不等式做了进一步推广 从而得
等对
( 1)
为适当维数
: 0 h
≤
m
n
．
到结论保守性更低的相关结论
，x( t)
，A
B
和
其中
的系统矩阵
h( t) h ， A( t)
∈
为系统的状态向量
［13，14］ ， ，
在文献 中 通过凸组合技术 获得时滞系
，h( t)
为系统状态时变时滞且满足
B( t)
为具有时变结构不确定性的
≤
． ［13］
统稳定性分析的新颖方法 文献 采用交互式凸组
≤
Δ
和 Δ
M
，
合技术 给出
LMI
．
形式保守性更低的稳定性新判据 同
， ，
未知矩阵 当其具有范数有界不确定性时 可描述为如
［14］ ， Jensen’s
样在文献 中 借助于 不等式和交互式凸
:
下形式
， ．
组合技术 得到非线性时变时滞系统的稳定性判据 在
E
E
[
A( t)
B( t)
]
= DF( t)
( 2)
Δ
Δ
[
，F( t)
为适当维数的正定矩阵 是具有
]
a
b
［21］ ， ，
文献 中 采用凸组合技术估计附加时变项 获得一
，D，E
E
其中
和
a
b
，
个严格约束的非线性时变系数 所得结论在稳定性方
:
可测元的不确定矩阵且满足
T
．
面更具优越性
F( t) F( t) I， t
≤
( 3)
［22］ ，
在文献 中 新构造的
LKF
包含三重积分泛函
F( t) = 0
，
时 系统变为标称系统
．
当
， ． ［22］ ，
项 优化了时滞系统的稳定性条件 受文献 启发
，
为了方便稳定性判据的证明 现将下一步需用到
［23，24］ ， ，
在文献 中 针对时变时滞的线性系统 通过构
:
的引理归纳如下
LKF，
得到了保守性更低的稳
造包含三重积分泛函项的
［2］
T
1
M = M ＞ 0， h
标量
引理
假定任意的正定矩阵
． ［25］ ，
定性判据 在文献 中 构造了一个包含时变时滞信
n
x( t) : ［0，h］
＞ 0
，
则有以下不等式
和向量函数
→
LKF，
基于积分不等式方法获得了区间时变时滞
息的新
:
成立
． ［29］ ，
系统的时滞相关鲁棒稳定性判据 在文献 中 通过
0
T
－ h x ( s) Mx( s) ds
∫
LKF，
避开凸组合技术和自由
构造一个新颖的时滞分割
t－h
T
， ，
权矩阵方法 仅仅采取更严格的界定不等式条件 给出
x( t)
x( t － h)
－ M
M
x( t)
≤
[
] [
假定任意的正定矩阵
][
M = M ＞ 0，
]
．
了区间时变时滞离散系统的稳定性判据 在文献
［30］
M
－ M x( t － h)
［22］
T
，
中 研究了一种变时延线性网络控制系统的鲁棒稳定
2
h
引理
标量
n
， ，
性 采用时滞区间不均匀法 通过构造一个包含三重积
＞ 0
x( t) : ［0，h］
，
则有以下不等式
和向量函数
→
LKF，
借助于更紧密界定技术的积分不等式
分泛函项的
:
成立
，
处理泛函导数 获得了保证网络控制系统的一种新的
t
t
t
T
T
－ h x ( s) Mx( s) ds
∫
t－h
－
x ( s) dsM x( s) ds
∫
t－h
≤
∫
t－h
．
稳定性条件
2
0
t
，
本文针对一类区间变时滞不确定系统 提出一个
h
T
－
x ( s) Mx( s) dsd
β
∫ ∫
－h t+
2
β
．
形式简单的保守性更低的鲁棒稳定新判据 该判据借
0
t
0
t
［16］
， ，
鉴时滞中点法 的思想 把时滞区间分割成两等份 针
T
－
x ( s) dsd M
β
x( s) dsd
β
≤
∫ ∫
－h t+
∫ ∫
－h t+
β
β
LKF，
并采用积分不等式和交
对每一分割区间构造新的
3
0
0
t
h
T
LMI
互式凸组合技术给出不包含任何多余参量的
形式
时加入包含
－
x ( s) Mx( s) dsd d
β λ
∫ ∫ ∫
－h
β
t+
λ
6
． ， ，
结论 不同于以往方法 第一 在构造
LKF
0
0
t
T
－
≤
x ( s) dsd d
β λ
; ，
更多时滞信息的四重积分项和增广泛函项 第二 在处
∫ ∫ ∫
－h
β
t+
λ
， ，
理泛函导数的交叉项时 在未忽略有用项的前提下 利
0
0
t
·M
x( s) dsd d
β λ
∫ ∫ ∫
－h
β
，
用缩放程度更小的积分不等式进行界定 有利于降低
t+
λ
［27］
T
．
结论的保守性 最后的数值仿真对比验证了本文所提
3
M = M ＞ 0， 0
标量
引理
假定任意的正定矩阵
h( t)
．
判据的有效性与优越性
，
≤α ε≤
1，h
h
x( t) : ［0，h］
和向量函数
→
≤
≤
m
M
n
n × m
n
:
n
，
n
为
首先给出以下标记
为
维欧氏空间
，
:
则有以下不等式成立
t－h
m
× m
，*
，I
为对称矩阵中的对称项 为适当维
维实矩阵
T
－ ( h － h )
m
x ( s) Mx( s) ds
T
M
∫
t－hM
． M = M ＞ 0
M
，e
为对称矩阵
数的单位矩阵
表示矩阵
i
T
T
T
T
－
( t) ( e Me + e Me ) ( t)
ζ
6
，
表 示 适 当 维 数 的 块 输 入 矩 阵 例 如
e
≤
ζ
7
7
6
6
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