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逆序对与区间逆序对查询.docx
资料介绍
逆序对与区间逆序对查询
一、基本概念定义
对于一个长度为n的整数序列A = [a₁, a₂, ..., aₙ]，逆序对指的是序列中满足i < j且aᵢ > aⱼ的数对(i, j)。整个序列的逆序对总数是衡量序列有序程度的重要指标，完全升序的序列逆序对总数为0，完全降序的序列逆序对总数达到最大值n(n-1)/2。
区间逆序对查询则是在原序列基础上，支持回答任意给定区间[L, R]（1 ≤ L ≤ R ≤ n）内，满足L ≤ i < j ≤ R且aᵢ > aⱼ的数对总数，部分场景下还支持动态修改序列元素，实现动态区间逆序对查询。
二、静态全局逆序对的经典算法
2.1 暴力枚举法
暴力枚举是最直观的解法，双重循环枚举所有i < j的数对，逐一判断是否满足aᵢ > aⱼ，统计符合条件的总数。时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(1)。这种方法仅适用于n不超过10³的小规模场景，当n增大到10⁴以上时，运算时间会急剧增长，无法满足效率要求。
2.2 归并排序法
归并排序法利用分治思想统计逆序对，核心思路是在归并两个有序子数组的过程中，统计左子数组元素大于右子数组元素的数量：将序列从中间划分为左右两个子区间，递归统计左区间内部的逆序对、右区间内部的逆序对，再统计一个元素在左区间、另一个元素在右区间的跨区间逆序对，将三部分相加得到全局逆序对总数。
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