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图论中的树形图与有向生成树计数.docx

更新时间：2026-10-16 13:18:46 大小：38K 上传用户：他山之石可攻玉查看TA发布的资源 标签：图论树形图有向生成树矩阵树定理有向树 下载积分：2分 评价赚积分 （如何评价?） 打赏 收藏 评论(0) 举报

资料介绍

图论中的树形图与生成树计数：有向树的建模

树形图（Arborescence / Directed Tree）是有向树：从一个根出发，所有边都"背离根"（或指向根）的树结构。树形图在路由、生成树计数、网络设计中有应用。本文剖析树形图的定义、有向树形图计数（矩阵树定理的有向版本）及建模。

树形图的定义

树形图（根为  的向外树）：一个有向图，根  到每个其他顶点有且仅有一条"有向路径"，且每条边都背离根（从根向外）。

内树/外树：

· 外向树（Out-arborescence）：边都背离根（根为入度为0）。

· 内向树（In-arborescence）：边都指向根（根为出度为0）。

  c
// 树形图
// 外向树: 边背离根（根入度0，每点入度1除根）
// 内向树: 边指向根（根出度0，每点出度1除根）
// 根到每点有唯一有向路径

树形图是"有向无环的树"，保证从根出发可达所有点且路径唯一。

有向树形图计数

求"以某点为根的有向生成树形图数量"，用矩阵树定理的有向版本。

有向矩阵树定理：对内向（或外向）树形图，构造相应的拉普拉斯矩阵，去掉根对应行列，行列式 = 树形图数量。


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