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基于Python的GPS高程异常拟合研究

更新时间：2019-12-30 08:44:12 大小：3M 上传用户：songhuahua查看TA发布的资源 标签：pythongps 下载积分：1分 评价赚积分 （如何评价?） 打赏 收藏 评论(1) 举报

资料介绍

考虑GPS高程异常具有一定的空间相关性,可将ArcGIS地统计中的确定性插值方法应用到GPS高程异常拟合中。结合Python脚本实现基于加权总体最小二乘的GPS高程异常拟合算法。结果表明,该算法的点位拟合精度和检核精度均优于ArcGIS地统计确定性插值。


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Aug.,2014  
Vol.12,No.4  
2014 年 8 月  
第 12 卷第 4 期  
地 理 空 间 信 息  
GEOSPATIAL INFORMATION  
doi:10.11709/j.issn.1672-4623.2014.04.017  
基于 Python 的 GPS 高程异常拟合研究  
于艳超 1，许捍卫 1，张明希 1  
（1. 河海大学 地球科学与工程学院，江苏 南京 210098）  
摘ꢀ 要 ：考虑 GPS 高程异常具有一定的空间相关性，可将 ArcGIS 地统计中的确定性插值方法应用到 GPS 高程异常拟合中。  
结合 Python 脚本实现基于加权总体最小二乘的 GPS 高程异常拟合算法。结果表明，该算法的点位拟合精度和检核精度均优于  
ArcGIS 地统计确定性插值。  
关键词 ：GPS 高程异常 ；地统计分析 ；总体最小二乘 ；Python  
中图分类号 ：P216  
文献标志码 ：B  
文章编号 ：1672-4623（2014）04-0049-03  
拟合方法是工程领域进行 GPS 高程转换的首选方  
案，其基本原理是在中小测区将似大地水准面看作平  
面或曲面，用多项式函数拟合法进行高程转换 [1-3]。考  
虑到 GPS 三维坐标中平面坐标与高程以及 GPS 测量所  
得大地高与水准测量所得正常高的不等精度性，通过  
对观测向量以及系数矩阵定权，采用加权总体最小二  
乘（weighted total least-squares，WTLS） 的 GPS 高 程  
曲面拟合算法，无论数学的严密性，还是模型参数的  
精确性以及空间数据的适用性，均优于 ArcGIS 地统计  
中的确定性插值方法 [4]。  
式中，  
R
V
R V  
1 x1 y1 x12 y12 x1 y1  
f1  
S
S
W
W
W
W
W
S
S
S
S
S
S
S
S
S
W
W
W
W
1 x2 y2 x22 y22 x2 y2  
R V  
f2  
f
R V  
p1  
a0  
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
W
W
S
S
S
W
g
g
g
3 W  
p2  
h
a
1 W  
=
=
=
=
p
,A  
,X  
,f  
， n  
W
W
W
f
4 W  
W
W
h
S
W
W
S
W
S
W
W
S
f5  
pn  
a5  
W
W
W
T X  
T X  
1 xn yn xn2 yn2 xn y  
f6  
S
W
T
n
X  
T X  
为拟合点数。  
根据最小二乘估计准则，得最小二乘解为 ：  
^
e
ATA -1ATξ  
=（  
）
(3)  
(4)  
单位权中误差为 ：  
P y t hon 作为一种通用脚本语言， 可以像 M a t l a b 一样  
随写随运行 [5]。从 ArcGIS10.0 开始，ESRI 在所有产品  
中都集成了基于 Python 的站点包 ArcPy。作为 ArcGIS 系  
统扩展和二次开发的语言，其灵活性和重用性可以很方便  
地实现空间数据的处理 [6]。ArcPy 提供了大量的类和函数，  
可以轻松执行 ArcGIS 工具，并创建原生对象，如几何、  
栅格、空间参考等 [7]。本文基于 Python，实现了基于加  
权总体最小二乘的 GPS 高程异常拟合算法。  
tT t  
e e  
n
t
v0  
=
!
-
6
1.2ꢀ 加权总体最小二乘算法  
从最小二乘算法模型与解算过程不难看出，最小  
二乘法只考虑了高程异常的误差，而未考虑系数矩阵  
A
的误差。然而，从组成系数矩阵 的元素可见，除了  
第一列，其他列均是与大地高坐标有关联的，忽略系  
数矩阵的误差不仅不符合实际，而且从理论上讲也是  
不够严密的。系数矩阵 中含有误差的模型 [8] 为 :  
A
1ꢀ 加权总体最小二乘趋势面拟合算法  
Z
+
=
+
ep (A EA)X  
p
]
]
1.1ꢀ 基于最小二乘的 GPS 高程异常拟合算法  
GPS 高程异常拟合的基本原理是在中小测区将似  
大地水准面看作一个连续的平面或曲面。本文采用二  
次多项式曲面拟合 ：  
Qp  
0
[
(5)  
ep  
ep  
,v20  
0
0
Rm  
=
~
*
>
H
4
;
E
;
E
;
E
]
]
0 QA  
eA  
vec(EA)  
\
×
Rn  
m
A
ξ
Rn  
X
A
其 中，  
，
，
，rank（ ）= m<n，n  
∈
∈
∈
Q
=
A
Q Q  
，“ ”  
⊗
0 x  
为观测值个数，m 为待估参数个数，  
⊗
2
2
ξ
= a0+a1x+a2 y+a3 x +a4 xy+a5 y +e  
(1)  
M N  
⊗
N
表 示 矩 阵 之 间 的 直 积， 具 体 形 式 为 : =[mij ]，  
式中，a0~a5 为待求参数。利用线性回归模型进行参数  
M
Q
ξ
Q
=[m ]，vec() 表 示 矩 阵 的 列 向 量 化 运 算。 、 、  
0
ij  
估计的 Guass-Markov 模型为 :  
Q
、
x
Q
A 为非负正定协因素矩阵。在等权的情况下，有  
I Q I  
， x= ， 0= ，称为总体最小二  
nm n  
Z
=
+
e
p
AX  
]
]
Q I  
Q
I
I
⊗
Q I  
m
ξ= ，  
=
=
n
n
A
m
e~N(0,v2)  
[
]
\
(2)  
-1  
Q
Q
=
A
Q Q  
⊗
0 x  
乘（TLS）法 ；不等权的情况下， ξ=Pξ ，  
=
Q
In  
收稿日期 ：2013-10-25。  
项目来源 ：水利部公益性行业科研专项经费资助项目（201201025）；国家自然科学基金资助项目（41101374、41101308）。  
第 12 卷第 4 期  
·50·  
地理空间信息  
-1  
，
P -1 P - 1  
P
=
Q P -1  
Q
P -1  
P
，
=
=
，
=
0 为系数矩阵  
解模型参数并计算检核点中误差。技术路线如图 1。  
⊗
0
x
A
x
x
0
0
A
P
A
的列向量权阵， x 为系数矩阵 的行向量权阵。加  
数据预处理  
权总体最小二乘（WTLS）的准则为 ：  
e TP e e P e  
T
+
A = min  
(6)  
(7)  
GPS高程拟  
合数据  
GPS高程检  
核数据  
ξ
ξ
ξ
A
A
粗差探测  
随机模型为 ：  
2
=
Dn  
v0 Qn  
#
#
m
m
总体最小二乘平面  
或曲面拟合模型  
趋势面分析  
T
epT Pp ep eA PA eA  
*
+
t2  
=
v0  
-
n
m
GPS 测量所得的三维坐标中平面坐标的精度要高  
于高程，且高程异常值为大地高与正常高之间的差值，  
这就导致平面点位 X 和 Y 的观测精度相当，而高程异  
等精度总体最小二  
乘算法  
不等精度加权总体  
最小二乘算法  
ArcGIS地统计分  
析插值  
权阵的确定  
确定性工具插  
值结果  
总体最小二乘  
插值结果  
ζ
常 的精度则不同。定义每个观测点之间相互独立且  
σ
σ
A
具有相同的平面测量精度，则 x= ，系数矩阵 的列  
y
向量权阵表示系数矩阵中每列观测值之前的权比关系，  
也可以表示为不同类观测值之间的权比关系。所以，  
根据协因素传播律以及系数矩阵的数值形式，可得 ：  
精度评定  
图 1ꢀ 技术路线  
首先利用 QQPlot 分布图和泰森多边形对数据进行  
探索性分析。从 QQPlot 分布图（图 2）可以看出，样  
本分位数作出的图形基本在一条直线上。因此，该样  
本数据的分布近似服从正态分布。粗差点在泰森多边  
形中表现为众多多边形中颜色与周围截然不同的点。  
从图 3 可以看出，没有与周围颜色不一样的多边形，  
说明泰森多边形代表的样本数据中不含粗差点。  
R
V
0
0
0
0
S
S
S
S
S
S
S
S
S
0
0
1
0
W
W
W
W
W
W
W
W
W
0 0  
0 1  
0 0  
0 2x0  
2x0  
y0  
0
4x02  
0
2y0  
x0  
=
Q0  
0
2x0 y0  
4y02 2x0 y0  
0 0 2y0  
2x0 y0 2x0 y0 x02  
y
2
0 y x0  
T
0
+
0
X  
P
Q -1  
为系数矩  
0
其中，x0，y0 表示观测值的近似值。  
=
0
A
A
的列向量权阵，起调节系数矩阵 中列与列之间  
阵
关系的作用。由于不需要修正的第 j 列向量对应的权  
值为 0，不参与平差，其改正数为 0，固定了常数列。  
定义不同等级 GPS 测量所得高程（大地高）的精度为  
σ
σ
σ
X
Z，则一般有 Z=k 。而 GPS 测量所得的大地高，根  
据 GPS 网的布设等级，与不同等级的水准测量精度相  
图 2ꢀ QQPlot 分布  
对应 ；定义联测 GPS 控制点水准高的水准网测高精度  
σ 2  
σ
= +  
ζ
Z
σ 2 2σ σ 2  
h =k  
2σ  
≈ k X2，从  
2
2
σ
（中误差）为 h，则有  
+
X h  
Q
。
ζ
而求出矩阵  
2ꢀ 算例分析  
本文选取某城市四等水准联测的 58 组城市 E 级  
GPS 控制网高程测量数据为数据源，根据已知数据的点  
位坐标和大地高、正常高的测量值，计算高程异常。数  
据点分布在 21.5 km×27.5 km 的范围内，点位密度满足  
GPS 高程异常曲面拟合的要求。高程异常值从 0.656 到  
1.769，变化范围较小。在进行曲面拟合时，为了检验  
模型的可靠性，根据数据点的分布情况，从中选取分布  
较为分散的 10 个点作为检核点，其余 48 个作为模型拟  
合的数据点。由于测点的平面坐标数值较大，为了避免  
在运算时出现病态矩阵的情况，需要对测点平面坐标数  
据进行中心化处理。依据这 48 个点建立误差方程，求  
图 3ꢀ 泰森多边形  
空间趋势面分析主要依靠样本数据来拟合一个曲  
面，从而大致反映其空间分布变化情况。图 4 表明，  
样本数据在 ZX 方向和 ZY 方向呈现二次拟合曲线。  

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