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Floyd-Warshall算法
资料介绍
一、算法概述
Floyd-Warshall算法是一种用于求解图中所有顶点间最短路径的动态规划算法，由Robert Floyd于1962年提出，其思想源自Stephen Warshall在1962年发表的求传递闭包的算法。该算法能够处理带权有向图或无向图，包括含有负权边的情况，但不能处理包含负权回路的图（因为负权回路会导致路径长度无限减小）。算法的时间复杂度为O(n³)，其中n为图中顶点的数量，空间复杂度为O(n²)，适用于中等规模的图计算。
二、基本原理
（一）核心思想
算法基于动态规划的思想，通过逐步引入中间顶点来更新任意两点间的最短路径。具体而言，设d[k][i][j]表示从顶点i到顶点j，且中间顶点仅允许使用集合{1, 2, ..., k}时的最短路径长度。其状态转移方程如下：
d[k][i][j] = min
其中，d[0][i][j]为初始状态，即图的邻接矩阵：若i和j直接相连，则为边的权值；若i=j，则为0；否则为无穷大（表示不可达）。
（二）空间优化
由于计算d[k][i][j]仅依赖于d[k-1][...]，因此可使用二维数组替代三维数组，通过原地更新实现空间优化，此时状态转移方程简化为：
d[i][j] = min
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