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快速推进法与快速扫描法
资料介绍
一、非线性程函方程的物理意义与求解背景
程函方程最早起源于几何光学领域，描述高频近似下波前传播的相位演化规律，其一般形式为|∇T(x)|=1/f(x)，其中T(x)为波从已知点源位置传播到空间点x的最短走时，f(x)为介质在点x处的波速。该方程属于典型的一阶非线性双曲型偏微分方程，解具有唯一的弱解（粘性解），且不同于常规线性方程的光滑解，波前传播过程中会出现焦散、截断等间断现象，传统的差分迭代方法难以稳定获得符合物理意义的解。
在地震层析成像、声波传播模拟、几何光学设计、路径规划、距离场计算等众多应用领域中，都需要对非线性程函方程进行高精度、高效率的网格离散求解。早期基于有限差分的迎风差分格式虽然能够满足因果性条件，但常规迭代方法计算效率较低，无法适配大规模三维网格计算需求。在此背景下，快速推进法（Fast Marching Method, FMM）和快速扫描法（Fast Sweeping Method, FSM）作为两类高效的网格求解方法被先后提出，二者分别基于不同的求解思路，针对不同应用场景展现出各自的优势。
二、快速推进法（FMM）的原理与实现流程
2.1 核心思想与因果性满足
快速推进法由Sethian在1996年正式提出，其核心思想基于波前传播的因果性：已经计算得到走时的区域一定位于波前的后方，尚未计算的区域一定位于波前前方，波前只会从未计算区域向已计算区域推进，不会反向传播。这一特性使得FMM可以严格按照走时从小到大的顺序依次更新网格节点的走时，每次只处理当前波前上走时最小的节点，保证每个节点只需要被计算一次即可得到最终的收敛结果。
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