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基于核函数的高维映射与线性降维方法
资料介绍
一、核主成分分析（KPCA）的基本原理
核主成分分析（Kernel Principal Component Analysis, KPCA）是传统主成分分析（PCA）的扩展方法，其核心思想是通过核函数将低维输入空间中的非线性数据映射到高维特征空间，再在高维空间中执行线性PCA，从而实现对非线性数据的降维处理。
1.1 核函数的作用
核函数的本质是一种“隐式映射”工具，它无需显式定义高维空间的映射关系，而是直接通过计算低维空间中数据点的内积来表征高维空间的内积。设输入空间为ℝd，高维特征空间为ℋ，映射函数为φ: ℝd→ℋ，则核函数K(xi,xj)=⟨φ(xi),φ(xj)⟩，其中⟨·,·⟩表示内积运算。
1.2 核矩阵的构建
对于包含n个样本的数据集{x1,x2,…,xn}∈ℝd，KPCA首先构建n×n的核矩阵K，其元素为Kij=K(xi,xj)。常见的核函数包括：
线性核：K(xi,xj)=xiTxj（等价于传统PCA）
多项式核：K(xi,xj)=(xiTxj+c)d（c≥0,d为整数）
高斯核（RBF核）：K(xi,xj)=exp（σ>0为带宽参数）
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