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基于广义低秩矩阵分解的分离字典训练 及其快速重建算法
资料介绍
针对传统压缩感知重建算法存在重建质量偏低、重建时间偏长等问题,本文提出了一种基于分离字典训练的快速重建算法.首先选取某类图像作为训练集,建立其广义低秩矩阵分解模型;其次采用交替方向乘子法求解该模型,训练出一组分离字典;最后将该分离字典用于图像重建中,通过简单的线性运算实现图像的快速重建.实验结果表明,本文算法相比于传统的重建算法,针对训练集同类图像,具有十分显著的重建性能,对于其他不同类型的图像,依然有不错的重建质量,极大地降低了重建时间
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Vol． 46 No． 10
Oct． 2018
第
2018
期
10
电
子
ACTA ELECTRONICA SINICA
学
报
年
月
基于广义低秩矩阵分解的分离字典训练
及其快速重建算法
，
，
，
100044)
张长伦 余 沾 王恒友 何 强
(
，
北京建筑大学理学院 北京
:
、
，
摘
要
针对传统压缩感知重建算法存在重建质量偏低 重建时间偏长等问题 本文提出了一种基于分离字典
．
，
;
训练的快速重建算法 首先选取某类图像作为训练集 建立其广义低秩矩阵分解模型 其次采用交替方向乘子法求解
，
;
，
．
该模型 训练出一组分离字典 最后将该分离字典用于图像重建中 通过简单的线性运算实现图像的快速重建 实验结
，
，
，
，
果表明 本文算法相比于传统的重建算法 针对训练集同类图像 具有十分显著的重建性能 对于其他不同类型的图
，
，
．
像 依然有不错的重建质量 极大地降低了重建时间
:
;
;
;
关键词
中图分类号
URL: http: / /www． ejournal． org． cn
压缩感知 广义低秩矩阵分解 分离字典训练 快速重建
:
TN911. 7
:
A
:
0372-2112 ( 2018) 10-2400-10
文章编号
DOI: 10． 3969 /j． issn． 0372-2112． 2018． 10． 013
文献标识码
电子学报
Separable Dictionary Training and Its Fast Reconstruction Algorithm
Based on Generalized Low-Rank Matrix Approximation
ZHANG Chang-lun，YU Zhan，WANG Heng-you，HE Qiang
( School of Science，Beijing University of Civil Engineering and Architecture，Beijing 100044，China)
Abstract: Since traditional compressive sensing reconstruction algorithms have lower reconstruction quality and lon-
ger running time，a fast reconstruction algorithm based on separable dictionary training is proposed． Firstly，we choose one
class of images as training set and construct their models of generalized low-rank matrix approximation． Then，the alternating
direction method is used to solve the model，and we can obtain separable dictionaries． Finally，the separable dictionaries are
applied to image reconstruction and realize fast reconstruction of image by simple linear operation． The experimental results
show that the proposed algorithm has a better reconstruction performance for training set images compared to traditional re-
construction algorithms． In addition，for other types of images，our algorithm has a good reconstruction quality and a lower
reconstruction time．
Key words: compressive sensing; generalized low-rank matrix approximation; separable dictionary training; fast re-
construction
．
，
能耗 压缩感知理论自从被提出以来 受到了众多研究
1
引言
．
人员的广泛关注
( Compressive Sensing，CS) ［1，2］
压缩感知
作为信号处
:
压缩感知理论研究主要包括三个方面 信号的稀
，
理领域中一种全新的理论 在多个领域中均有广泛的
、
．
疏表示 测量矩阵的构造以及重建算法的设计 信号的
．
，
，
应用 该理论表明 当信号稀疏时 可通过少量测量值精
．
稀疏表示是利用满足一定条件的正交基对信号进行稀
确地重建出原始信号 压缩感知将信号压缩与采样合
，
;
疏投影 使投影得到的信号是稀疏的 测量矩阵要在尽
二为一［3］ 减少了数据在存储 预处理及传输过程中的
，
、
，
可能降低信号维数的同时保证信息损失最低 该测量
: 2017-05-22;
: 2018-05-04;
( No． 61502024，No． 61473111) ;
:
收稿日期
修回日期
责任编辑 李勇锋
北京市教委科技计划
建大英才 项目 北京建筑大学北京未来城市设计高精尖创新中心开放课题
:
( No． SQKM201610016009) ;
基金项目 国家自然科学基金
北京市属高校基本科研业务费专
( No． X18086) ; “
”
;
( No． UDC2017033322) ;
项
北京建筑大学科研基金
( No． KYJJ2017026)
2401
10
:
张长伦 基于广义低秩矩阵分解的分离字典训练及其快速重建算法
第
期
;
．
过程将直接影响测量值所包含的信息量 信号重建算
决了传统单字典训练方法计算复杂度 过 高等问题
［14］
，
Hawe
SeDiL( Sepa-
提出了一种分离字典训练方法
法主要考虑利用维度较小的测量值 尽可能精确及高
．
等
rable Dictionary Learning，SeDiL) ，
利用矩阵流形建立优
效地重建出原始高维信号
，
，
，
重建算法对信号的重建具有十分重要的作用 将
化模型 并采取几何共轭梯度法对其求解 训练得到一
直接决定信号的重建质量 信号重建算法研究至今 已
种分离字典 大大提高了字典训练效率
等
［15］提出
．
，
，
． Lu
．
，
，
取得很重要的进展 一些传统的重建算法 如梯度投影
了一种基于分离字典的压缩感知重建算法 通过线性
稀疏重建算法［4］ 正交匹配追踪算法［5］ 和迭代阈值算
运算将稀疏表示基与测量矩阵有效结合 构造出一种
、
，
法［6］等 通过多次迭代 能获得不错的重构效果 但是
，
，
，
．
高效的分离字典 该算法仅通过简单的矩阵运算就能
，
，
．
在迭代的同时往往伴随奇异值分解 导致计算复杂度
实现图像的重建 大大减少了重建时间 对于分离字典
较高
等
［7］指出变换系数中的某些结构能用于提高
． He
，
构造方法的研究虽然取得了不错的进展 如何设计效
，
，
．
算法的重建精度 并利用离散余弦变换中的树结构建
率更高的分离字典 依然有待进一步探索
，
．
，
立了一种分层统计模型 提高了重建质量 为了充分利
作为压缩感知从一维到二维的推广 低秩矩阵分
解［16 ～ 18］成为了另一种数据降维的新方法 低秩矩阵分
，
．
用信号的非局部相似性 基于非局部相似性的压缩感
等
［8］通过结合图像的
． Dong
知算法受到了广泛的关注
解考虑将含噪的低秩矩阵分解为一个低秩矩阵和一个
［19 ～ 21］
．
，
非局部自相似性及相似图像块的低秩特性 提出了一
，
稀疏误差矩阵 具有十分广泛的应用前景
传统的
种基于非局部低秩的压缩感知重建算法
等
［9］ 基
，
． Song
低秩矩阵分解方法每次只能处理单个矩阵 在实际应
，
，
于图像的非局部相似性 对图像中的相似块进行聚类
，
， :
用中 通常面临的是多个矩阵的恢复问题 如 图像集或
，
，
将相似块展开为向量 组合成二维矩阵 并以最小重建
．
，
视频 为了解决这类问题 常采用的方法是将每个矩阵
误差作为约束条件对相似图像块矩阵进行秩最小化求
，
，
．
拉成列向量 进而组合成一个大矩阵 再进行低秩分解
，
．
解 最终聚合得到重建图像 这类算法有效提高了重建
，
这种方式不仅破坏了原始矩阵的二维结构 而且所构
［22］
，
，
，
质量 但是由于分块的原因 将引起不同程度的块效应
，
． Ye
造的矩阵维度往往较大 不易于计算和存储
等
．
，
重建速度也有待提高 因此 许多学者致力于重建速度
( Generalized Low-Rank
建立了广义低秩矩阵分解模型
的提高 进行了深入的研究
等
［10］利用线性投影的方
Approximations of Matrices，GLRAM) ，
能同时处理多个相
似矩阵 并将每个矩阵分解为维度更小的矩阵和两个
，
． Li
，
式替代了传统重建算法的非线性迭代过程 提出了一
，
，
种基于最佳线性估计的快速压缩感知图像重建算法
． Chen
，
．
列正交矩阵的乘积 提高了数据处理效率
大大缩短了图像重建时间
量域直接预测的多假设图像压缩感知重建方法 提高
． Ma
等
［11］提出了一种在测
，
GLRAM
l
，
然而 由于
．
使用 范数测量误差 对稀疏
2
，
GLRAM
，
存在的问题 本文提出了
大噪声较敏感 针对
了信号重建的稳定性
等
［12］提出了三维环形邻域结
IGLRAM ( Improved GLRAM，IGLRAM)
，
l
模型 将 范数
1
，
构和多群协作机制 设计了一种高效的压缩感知重建
．
GLRAM
，
加入到
证误差项尽可能小 此外 由于
正交矩阵与分离字典的作用类似 本文将该列正交矩
模型中 使得尽可能降低维度的同时保
方法
．
，
IGLRAM
训练得到的列
，
上述传统重建算法已取得重要的进展 但是仍存
，
，
:
，
在不足之处 主要有以下两点 第一 传统的压缩感知主
，
，
阵当作分离字典 用于图像重建中 提出一种快速压缩
，
，
要是基于单字典的重建 常用于一维信号的重建 为了
( Fast Compressive Image Sensing Matrix
感知重建算 法
Training，FCISMT) ．
，
，
解决实际问题 通常需要将矩阵拉成列向量 进而应用
该算法通过线性投影的方式替代了
，
，
压缩感知重建模型 不仅导致计算复杂度过高 而且破
，
传统重建算法的非线性迭代过程 仅通过简单的矩阵
;
，
坏了原始信号的二维结构 第二 传统重建算法主要基
．
，
运算就能实现图像的快速近似重建 实验结果表明 针
，
于最优化的思想实现信号的重建 迭代的同时往往伴
，
对与训练集同类的图像以及其他不同类别的图像 本
，
，
随奇异值分解 当处理较大维度的矩阵时 计算复杂度
．
文算法的重建速度和重建精度均优于当前主流的压缩
．
感知重建算法
较高
，
最近 由于基于样本训练的学习字典具有很好的
2
理论基础
自适应性 受到了研究人员的高度关注
等
［13］提
K-SVD( Kernel-Singular Value Decomposi-
，
． Aharon
2. 1
压缩感知
出了一种基于
，
tion)
，
，
压缩感知理论表明 稀疏信号可以通过线性投影
．
的字典训练方法 通过误差最小原则 对误差项进
，
，
得到的少量测量值进行重建 该理论的数学模型表示
行奇异值分解 寻找使误差最小的分解项 并以此作为
:
x
K
，
，
．
，
如下 假设信号 在 ψ 域上是 稀疏的 通过稀疏基 ψ
更新的字典原子 经过多次迭代求得最优解 此外 众多
:
，
对其进行稀疏表示
学者对分离字典的训练方法展开了深入研究 有效解
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