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分数阶PID控制器参数的自适应设计

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资料介绍

分数阶比例-积分-微分(proportional-integral-derivative,PID)控制器是整数阶PID控制器在复数域的推广,通过引入两个可调参数λ和μ使得控制器参数整定范围变大,但使得参数设计变得更加复杂.针对分数阶PID控制器的特点,提出了一种参数自适应的改进型差分进化算法整定方法,在目标函数的选取上,针对传统时间与绝对误差乘积准则对超调量控制不足,引入误差与控制信号加权,分别对整数阶和分数阶被控模型进行理论分析和数值仿真,仿真结果证明了该控制器参数设计方法的有效性和准确性.

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V01．35 No．5

第35卷第5期

系

工程与子技

and Electronics

2013年5月

Systems

2013

Engineering

May

文章号：1001— 506x(2013)05— 1064一06

网址：www．sys— ele．com

分数 PID控制器参数的自适

黄，周亮，建弘

工程大学信息与通信工程学院，黑江哈

(哈

150001)

摘

要：分数比例一分一微分(proportional— integral一de“vative，PID)控制器是整数 PID控制器在复数域

的推广，通引入两个可参数A和岸使得控制器参数整定范大，但使得参数得更加复分数

PID控制器的特点，提出了一种参数自适的改型差分化算法整定方法，在目函数的取上，

。

与

差乘

准

超

果

量控制不足，引入差与控制信号加，分

明了控制器参数方法的有效性和准确性。

整数和分数被控模型行理

分析和数仿真，仿真

关

中

：分数比例一分一微分控制器；差分化；参数整定；自适

273

分

号：TP

文献

志

：A

DoI：10．3969／j．issn．1001— 506X．2013．05．28

of the fractional

SelfLadj usting design

parameters

0rder PID controller

Li— lian，ZHOU

Xiao一1iang，XIANG Jian— hong

(CoZZ已98 o，I，z，o"7l口￡io咒口，zd C07咒m“起ic乜￡io竹E竹gi起PPri竹g，Hn，-6i咒E，zgi咒ee一，zg

U挖i。Prs缸y，H口r6i挖j 5000】，C^i懈)

fractional order

is the

of the clas—

expansion

Abstract：The

proportional— integral— derivative(PID)controller

sical

order PID controIler in domain． Two variable

complex

parameters

brought

expand

integral

and are

the

the controller is made more

For the characteristics of the fractional order

tuning range，but

complicated．

modified differential evolution

with

to tune the contr01一

PID，a

algorithm

parameter self．adj usting

presented

signal

To choose the

addition of error and control

as the

disadvantage

ler．

function，the

objective

weighted

overshoot contr01 with

time and absolute error criterion are introduced． Theoretical

and si—

integrated

analysis

and fractional order The simulation results il—

plant separately．

mulation are carried on with

order

integer

plant

of the method．

proposed

and

lustrate the effectiveness

accuracy

order

differential

evolution；

KeywoI‘ds：fractional

proportional一integral— derivative(PID)controller；

para—

meter

tuning；self-adiusting

不是整数，比

的比例一分一微分(proportional— intrgral—

引

言

derivative，PID)控制器多了两个可参数，在提高参数精

确性的同，也使得得更加复。因此，分数

控制系的参数整定方法已成当前研究的点。

差分化算法(differential evolution，DE)是一种基于

律的内全局化策略[1⋯ 。与普

算法(genetic algo“thms，GA)相比具有明

方式和算运算，降低了运算程的

近年来，随着科技的步，算机技

的

速

展，以

构

及

制

控制系

精度的要求越来越高，分数系在控

域被高度重，在控制器

方面取得了

大

展。

生物

通的

化

空

文献[1]提出了一 P11 控制器，并

于分数被控象有效；文献[2]提出了基于期交叉

和相位裕度的域分析方法。文献[3]提出了一种基于复

了

控制器

率

的

，采用浮点矢量

平面上极点分布情况的

数字

控制系

延和包特性的网控制系邙]，高超速行器抗

方法；文献[4— 6]在P11p的

复

度并提高了可靠性。DE

不到20年的展及改

，已广泛用在

多目 [123及

中，如非性化学程化口“、

的稀步化口31等。本文根

方面均取得了很大的成就。在

工程中，分数

已

用在超前校正器和滞后

器L71，具有

化

天

据DE算法可用于多参数束条件目函数

，将

姿

控制器[e 3等。在P1、p控制器中，微分和分的次通常

PI、D}i的5个参数作量行，在Simulink 境下

收稿日期：2012一05一04；修回日期：2012— 10一25。

基金目：国家自然科学基金(61203004)；中央高校基本科研

金(HEucFTl203)；黑江省自然科学基金(F201220) 助

万方数据

· 1065

第5期

黄

等：分数 PID控制器参数的自适

控制系建模，根据期的系性能指确定目函数，

从而得到控制器的最参数。

似

次分

和g。除了Tustin的CFE方法外，有Eul一

series

er算子的

数展开(poⅥ陀r

e)【pansion，PSE)及～一

舢aoui算子等直接近似化方法。接近似化是把分数

的整数，目前效果好的是Oustaloup方

法，其缺点是在近似率两端合不佳。文献[14]

系

分数控制系的数学基

化

系

1．1分数

分数

微

分的定

分的概念最早出在三百多年以前，几乎

方法的缺点，在原方法基上引入了两个系数，来提高近似

段两端的合精度，构造的改 0ustaloup法微分算

子模型

与牛一莱布尼茨

微

分同

出

，但是直到近几十年

分以研究分数

才从理研究展到

用。分数

微

分算子基本出点，展到在形成了几种不同

形式的定，如常用的Grdnwald— Letnikov( 称GL)定

，Riemann— Liouville( 称R-L)定和Caputo定等。

通常定的微分算子可以表示

G㈤一打絮‰直等㈤

式中，K一(‰u。)。；6、d分

得到了意的近似效果。

被控象一般都是分数

引入的整系数，通仿真

非

性系，使用整数

(1)

捌一器

系

其建模分析往往会造成大的差。了提高控

制精度，在的PID控制器基上，将微分和

展到数域即可得到P11p，其函数可表示

Gc(s)一Kp+K，51+Kds一，A， ∈R

从式(7)可以看出， PID控制器即 A一“一1

一种特殊情况。P11p通引入的两个量使得控制器的

参数灵活，控制精度提高，但同来了新的，即

PID控制器的方法不能直接用到P11 参数

整定上。必 P11p的特点，重新整定参数的

式中，q

数，表示微分的次；f

微

分

量；n

微

分

次

分下限。 GL定可表示

[宁3

f．．]

(7)

(2)

的

pV。)-脚 7 (-1)’咿卜 )

frl

也

式中，^

算步．[z]表示z的整数部分；I’l是关于r、j

用中受到限制，

的二式展开。由于极限式在

了

要

算方便，只考 f 刻附近的区 [f— L，z]的算，得到

方法。本文提出了基于一种改的差分化算法的P11 ^D}‘

参数整定方法，其主要思想是将控制器的5个参数(K。，

短

算法描述的GL定

K。，K。，A，Ⅳ)作个体，根据系

位

响

指

目

(3)

(4)

。，。，Dj，(￡)≈ ^一7∑CJ，(f一弘)

函数，通 DE算法的异、交叉及

等程，得到

C。一1，C，一(1一三— P)CJ_l

度，且￡一L>口；N(￡)

足目函数的最个体，从而得到控制器的参数。

式中，L

2参数自适 DE算法

min{[

2．1基本差分化算法原理

I詈I}，通

推公式(4)即可得到其所有的系数。

差分化算法由K．Price和R．Storn于1995年提出，

并迅速成一种成功的基于向量群的随机化算法。DE

1．2

分数

微

分算子的

及Pr DlI控制器

分数

系

是一个复

系

，从理

上

分数

系

算法与其他

算法相似，都是用NP个D 参数向量来

是无限的，不能直接用整数

系

的分析方法其研

初始化搜索空，原始DE算法的种群初始化

究。可以用一个有限次的微分方程来描述分数

行有理化近似是研究分数的重要方法之一。

于分数分算子，，其离散化是数字的关

。且于控制系，得到的近似离散

系，

(8)

P：．g一(工。。)，工。．g=(z，。。)

其

系

式中，i— o，1，⋯ ，NP一1；g— o，1，⋯ ，g⋯ ；j— O，1，⋯ ，D一

微

1；NP代表种群模；g 迭代次数；D代表数，即待

参数的个数。

化

步

来

函数

保持定且足最小相移。Tustin提出的

种群中的个体通式(9) 行初始化。

z。。一randJ[o，1)(以，。一以，z)+以，f

fractional

分数展开(continuous

expansion，CFE)方法可以

(9)

足

的性，通 CFE方法近似分数算子可以表

式中，以．。和6川表示参数向量工。的范；rand，[o，1)返回一

个服从均匀分布的随机数。

示

DE算法通

异方式来生新个体，作v⋯ ，具体的

＆卜‰＆1¨卸一(吾)晒E((高)坷)。一

异操作需要3个基向量以及放因子F。

(10)

V。．g— zr。．g+F(工，，，g— z。．g)

㈤

( 端

每

生一个新个体，ro，r。和r。均需要在种群内随机

，且r0≠r-≠rz。在程后，DE 行交叉操作，

式中，T

采

；P，和Q是关于z1的互

多

式，近

束异

万方数据

‘1066·

系

工程与子技

第35卷

程，

通

交叉得到的

向量Ⅳ。。交叉使得种群的多性增

适

后

△

度^，。>￡且占2<△ ，才行上述的

异

，交叉的概率 CR，交叉程表示

搜索以

新的最个体，直到足允；<￡且艿2<

止。如果理

最

解未知，以￡

多少次不

作

“(1“1)

定

。DE算法在

以上改后，即可

参数自适

。一一J ，一，ran也[o，1)≤ CR

地口～”w— k。zM口

，

其

只他

他

搜索到全局最解。

通

交叉操作，使

与x。和v。来交参数，在完成上述步后，DE 行最后

一步操作。

程是通判断适

向量的参数通随机概率分布

3控制器

及参数整定算法

在控制器

，一般是根据期望的幅裕量、相位裕

的

来确定将

个体和目

量、上升

和超量等要求来

分数控制器，使其

如 1所示。

个体中哪一个保留在种群中入下一代，即

足系的性能。分数控制系

Hw，，(H一)≤ ，(hs’

，

～J

(“12“)

t一1一k。，其他

如果新生成的

向量入下一代种群，

越来越小或者保持不，而不会使适

向量得到更小的适

，

会代替

目

操作，种群中的个体会

使适

散。

2．2参数自适 DE

1控制器

系

框

足

本文根据分数控制器参数的特点和

，以及

被控象G。(5)和控制器G(5)

丸一arg[Gf(j

DE算法的早熟收

self_adjusting，PSA)～DE算法。前面

程中，放因子F控制化的速率，文献[10]

，提出了一种参数自适 (parameter

(17)

q8’

c￡’。)G，(j(￡J。)]+7c

DE算法的

异

了其取

九一雨面森

范

况更加

在(o，1+)，当胗1 亦可取到最解，但相比F<1情

且不定。文献[15]通研究，当F<o．4

种群的搜索无效，从而确定了F的下限。

了定量分析群体的状，引入群体适度方差n明的

且m。足f G(jm。)G(j％)f一1，“，足arg[G(j魄)

，

瓯(j‰)]一一7c。

放因子的

化

通

推

可以得到关于控制器参数(K，，K；，K。，A，∥)

的方程，但是由于未知量共有7个，而无法唯一确定控制

器的参数。

定

。

种群

模

NP，第g代第i个个体的适度用厂。表

在

分(integral

PID控制器参数

，通常使用

差

分(in—

差乘

示，目前的平均适度可用厂a，。表示，群体的适度方差

of absolute

error，IAE)准、平方

差

可表示

tegral

squared error，IsE)准

或

和

M—

and

time

absoIute

(integrated

error，ITAE)准

行分析。本文在ITAE准

加以修改，将差、控制信号与ITAE加

因

些

(13)

(巴。)一∑I f

，

性能指便于在

域

基

上

式中，Jf是一化因子，目的是控制的大小，且，可由

式(14)限制。

作

DE算法的

目

函数行搜索，可用式(19)表示。

广

max{1工一，a，。I)，max{【，一^。。{}>1

f— I

．，一∞。I￡I e(￡)I d￡+硼：I e(f)I+叫。I“(￡)I(19)

1，其他

式中，w，，啦和啦

差和控制信号的影响。根据系

境下搭建的仿真模型如 2所示。

加

系数，用来平衡目函数中

差

(14)

累

、

框

，在simulink

通

定

可知，若存在数△>o表示群体收精度，

<△

，明群体中的个体都聚集在一定的范内，搜索到

局部或者全局最解； >△ ，种群于随机搜索段。

DE算法采用“ 婪”准，可以增加收速率，但同

会

生其他

算法不可避免的收早熟

。了防止

搜索入早熟收，本文采用了随机

以防止种群陷入

局部最

异

状。

，一F+rand(1一F)

(15)

程

Simulink 境下搭建的控制系模型

(16)

v，，g— F7xbe。。，g+F(x，，．g— x-g)

用改 DE算法行控制器

及参数整定的具体步

式中，‰。。是第g代最个体，在确定其是全局最

是

如下：

局部最

，要引入个体适度精度e≥ o，只有当最个体

万方数据

· 1067。

第5期

黄

等：分数 PID控制器参数的自适

步

1根据分数控制器的

J一[Kp K。Kd

函数式(7)构造参

数向量，即

(20)

]

估

各参数的取

范

，确定参数向量的上下限工。和x“。

步

在

定的参数范内初始化种群，并确定

PsA-DE的各参数：F、g⋯ NP和CR等。

3根据式(10)～式(12)

越

馨

步

行

异、交叉和

程。

步

4根据式(19)

的适度函数算每个个体

的适

，

算目前群体的适度精度和收精度。

步

判断步 4中的适

和精度是否足要

F 行随机，并用

r／s

(a)Gt开

系响

求，若不足要求根据式(15)

式(16)替

步

3中的异方式；否

，行下一步。

6判断迭代次数是否达到最大。若达到最大，

算法束；否，g— g+1 到步

4仿真研究

行。

趟

馨

首先取一个二被控象，

函数

(21)

· (s)一硒

干瓦可

3(a)所示，

系

的

超

位

响

如

控制器参

tfs

数要求系

量M。≤ 10％，上升

Tr≤ o．5 s，

G开

响

；⋯ · -：zH控制器；一：控制器c。；--．：控制器c2。

(b)G、在常方法控制器下

差E≤ 5％。利用本文提出的PSA— DE算法，

参数

位

响

NP一15，F⋯ 一O．9，F。。。一O．4，CR— o．5，

100次迭代，

可分得到的自适参数DE算法整数 PID控制器(

C，(s))和分数 PID控制器( CF(s))

cJ(s)一175．959 1+幽+25．911 3s(22)

魁

馨

cF(s)一201．625

2，一s(23)

5一墅掣+26．902

根据文献[17]提出的第一Zie91er_Nich01s准

的两个

分数控制器分

C。(s)和C。(s)

e一

c，(s)一o．088

(24)

o+譬弊+2．588

8+ ≮ 祭+4．106

G开

响

；一：DE分数；一．：DE整数

(c)Gt在自适参数控制器下的响

。

6ss吼”7s8。0 s

C2(s)一6．992

(25)

毛

掣+4．106

模型行降近似成一

加

滞系，并用

Ziegler-

Nichols参数整定方法提出的整数 PID控制器 CzN(s)

cz。(s)一120+塑+12s

(26)

仿真得到G。上述几个控制器控制下的系

响，以

及BC'de曲

如 3(b)～ 3(d)所示，系的指如表1所示。

表l

G，t在不同控制器下系

指

比

率／}lz

G开

系

；一：DE分数；⋯ _：DE整数

。

(d)G-在自适参数控制器下的Bode

G，l在不同控制器下的响与B0de

万方数据

· 1068·

系

工程与子技

第35卷

从仿真果可以看出，基于本文所提方法

的整数

PID控制器和分数 PID控制器均能足系要求的各

指

，相比于

ziegler_Nichols方法以及文献[17]中

所提方法

的控制器，本所提方法控制的系有更小的

超

量、更短的

整

和更快的系

响

，从而达到了精

确控制的目的。

考

一个分数被控象模型，

函数

(27)

qz(s)一 ≯ 干蠢j万可

系

的

位

响

曲

如

4(a)所示。文献[1]

率／Hz

了分数 P沙控制器(

c。(s))，

⋯ ：G开

系；一：DE分数控制器。

(d)G，在自适参数控制器下的Bode

G。2在不同控制器下的响与B0de

函数

3s1’”

CFPD(s)一20．5+3．734

(28)

文献[18]提出的方法

函数

的分数 PID控制器c，。(s)

的

05”(29)

cFl(s)一138．181 7+掣+12．382

文献[18] 指出于分数受控象，整数 PID控

制器不能理想地控制模型。于系 G。：用本文所提

方法，参数

o．5，

取

NP一15，F。。。一O．9，F。一O．4，CR—

200次迭代得到的分数 PID控制器

7s08⋯ (30)

cF(s)一24．193

4+掣+20．215

G。。在不同控制器下系

指

比如表2所示。

t|s

表2 G面在不同控制器下系

指

比

(a)G0-开

系响

被控象瓯：在本文所提方法

4(c)所示，通

的控制器作用下的

比文献[18]中使

位

响

曲如

用ITAE准搜索的控制器以及Podlubny

的Pp控

制器如 4(b)所示，基于本文所提方法

控制器具有良

好的控制效果，各

系

指

均

足

要求。

t|s

一：FOPD控制器；⋯ ⋯ ：控制器cFl。

(b) 在常方法控制器下

位

响

本文提出了一种参数自适的改差分化算法，

分数 PI、p控制器参数行智能整，方法可以在搜

索

程根据群体适度来自适

程陷入局部最化，将方法用到分数 P11p控

整数被控象和分数被控

改

异

，以防止搜

制器参数的整定中，通

象的仿真表明，本文所提方法

方法，具有超量小、上升

的控制器相比于

快、定性好的点，且

参数

灵活整定范大，具有广的工程用前景。

参考文献：

[1]Podlubny

tls

I．Fractiona卜order

and PI、Dp controllers[J]．

systems

(c)G．在白适参数控制器下的响

万方数据

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