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基于高斯混合模型的衍射成像算法
资料介绍
编码衍射成像系统中记录的测量值丢失了相位,而相位含有关于图像的大部分结构信息.如何利用无相位测量值重构原始图像是相位恢复(Phase Retrieval,PR)算法面临的一个重要问题.由期望最大(EM)算法训练高斯混合模型(GMM)的最优参数,任一图像块可以选用GMM中某一模型分量最佳表示.基于该认识,本文利用GMM的统计特性融合数据保真项构造PR优化问题,并用加速邻近梯度法求解该问题.实验结果表明,该算法在噪声强度较大、编码衍射图案较少的情况下仍能获得较高质量的图像重构
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Vol． 46 No． 10
Oct． 2018
第
2018
期
10
电
子
ACTA ELECTRONICA SINICA
学
报
年
月
基于高斯混合模型的衍射成像算法
，
，
，
练秋生 侯亚伟 苏月明 石保顺
(
，
066004)
燕山大学信息科学与工程学院 河北秦皇岛
:
，
．
摘
要
编码衍射成像系统中记录的测量值丢失了相位 而相位含有关于图像的大部分结构信息 如何利用无
( Phase Retrieval，PR) ． ( EM)
相位测量值重构原始图像是相位恢复
( GMM)
算法面临的一个重要问题 由期望最大
算法训练高
GMM
，
GMM
．
，
斯混合模型
的最优参数 任一图像块可以选用
中某一模型分量最佳表示 基于该认识 本文利用
PR
，
．
，
的统计特性融合数据保真项构造
优化问题 并用加速邻近梯度法求解该问题 实验结果表明 该算法在噪声强度
、
较大 编码衍射图案较少的情况下仍能获得较高质量的图像重构
．
:
;
;
;
关键词
中图分类号
URL: http: / /www． ejournal． org． cn
相位恢复 编码衍射图案 高斯混合模型 加速邻近梯度
:
TN911. 73
:
A
:
0372-2112 ( 2018) 10-2347-04
DOI: 10． 3969 /j． issn． 0372-2112． 2018． 10． 006
文献标识码
文章编号
电子学报
A Diffraction Imaging Algorithm Based on Gaussian Mixture Model
LIAN Qiu-sheng，HOU Ya-wei，SU Yue-ming，SHI Bao-shun
( School of Information Science and Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China)
Abstract: The phase information of the recorded measurements is lost in the coded diffraction imaging system． How-
ever，the phase contains most of structural information about the image． How to reconstruct the original image from measure-
ments without phase information is a crucial problem faced by the phase retrieval algorithms． The optimal parameters of the
Gaussian mixture model ( GMM) are trained by the expectation maximization ( EM) algorithm． An image patch can be re-
presented optimally by one of the components in the GMM model． Based on this fact，a PR optimization problem which fu-
ses the statistical properties of GMM and the data fidelity term is formulated． Moreover，the accelerated proximal gradient
method is utilized to solve this problem． The experimental results show that the proposed method can achieve high-quality
image at the case of few coded diffraction patterns and high noise levels．
Key words: phase retrieval; coded diffraction pattern; Gaussian mixture model; accelerated proximal gradient
GAMP
BM3D
BM3D-prGAMP
基础上加入
，
去噪算子提出
1
引言
算法［5］ 用更少的测量值实现压缩相位恢复
．
，
由 于 物 理 限 制 光 学 传 感 器 如 电 荷 耦 合 器 件
，
( Coded
编码衍射成像系统中 测量值为编码衍射图案
Diffraction Pattern，CDP)［6］，CDP
( CCD)
、
相机 感光膜和人类的眼睛只能记录光场的模
携带更多关于待重建图像
PR
(
)
，
，
值或强度 模值的平方 信息 丢失了相位 而相位携带
，
．
，Candes
问题
的信息 且装置简单 为解决该系统中的
等提 出
算 法［7］ 和
．
，
大部分的结构信息 给定未知信号的傅立叶变换模值
通过相 关 技 术 恢 复 原 始 信 号 的 过 程 称 为 相 位 恢 复
( Phase Retrieval，PR) ．
WF ( Wirtinger Flow)
TWF ( Truncated
［8］
Wirtinger Flow)
，
．
算法 利用梯度下降的方法迭代更新 上
，
它在很多领域有广泛的应用 如
，
CDP．
［9］
文献
述算法没有利用图像的先验 重构需要较多
［1，2］
、X
、
．
光学 射线晶体学 天文成像和核磁共振成像
等
DOLPHIn( DictiOnary Learning for PHase RetrIeval)
提出
算
，
近年来 受压缩感知理论启发的相位恢复算法相
，
．
［10］
法 利用字典学习进行稀疏表示来恢复相位 文献
提
［3］
算法
，GESPAR( Greedy Sparse Phase Retrieval)
继提出
采用快速局部搜索来动态更新支撑信息
GAMP( Generalized Approximate Message Passing)
SPAR( Sparse Phase Amplitude Reconstruction)
，
算法 利
出的
． Schniter
等提
BM3D
PR
．
用
滤波来求解抗泊松噪声的
问题
出利用
算法［4］来求解稀疏信号的相位恢复 随后
PR
，
由于 问题是不适定的 基于正则化的方法可以通
过构造合适的正则项 将不同先验引入到图像重建中 本
．
Metzler
等在
，
．
: 2017-06-16;
: 2017-11-17;
:
收稿日期
修回日期
责任编辑 李勇锋
:
( No． 61471313) ;
( No． F2014203076)
基金项目 国家自然科学基金
河北省自然科学基金
2348
2018
电
子
学
报
年
［11］
，
( Gaussian
，R( x)
，
文受文献
启发 提出基于高斯混合模型
上式中第一项为数据保真项
是正则项 λ 是两者
， f ( x )
间 的 权 衡 因 子 为 下 文 表 示 方 便 令
2 2
Mixture Model，GMM)
( Phase Retrieval
．
=
正则化的相位恢复
based on Gaussian Mixture Model，GMM PR)
，
b － | Ax | ，g( x) = R( x) ．
λ
算法 以利用
－
2
CDP
．
较少的
实现抗噪性能好的图像重构
用对数似然率衡量图像块属于某个模型分量的程
，
GMM
PR
:
度 提出利用
统计特性作为正则项
优化问题
2
( GMM)
高斯混合模型
2
2
min b － | Ax |
－
logp( P x)
( 4)
λ
2
∑
i
x
i
2． 1
GMM
求解
GMM
的最优参数
( 4)
，
式
适用于测量数据受高斯噪声干扰 当其受泊松噪声
K
．
x
可以表示为 个高斯模型的加权和 样本
［12］
，
，
b
干扰 引入比例因子控制图像的强度
测量值 符合泊
GMM
:
由
描述的概率密度函数为
K
，
GMM
PR
:
松分布 提出基于
正则化的抗泊松噪声
2
问题
p( x| ) =
Θ
N( x | ， )
μ Σ
k k
( 1)
，
π 表示第
π
k
T
2
T
∑
min1 | Ax | － b ln( | Ax | ) －
logp( P x) ( 5)
λ
∑
i
k = 1
x
i
K
{
}
，
，
:
(
， ， )
其中 Θ 是超参数 包括
π μ Σ
k k k
k
k = 1
( 4) 、( 5)
对数似然率［11］
logp( P x)
GMM
式
中
表示图像块在
先验下的
i
K
．
k
:
= 1，N( x | ， )
为
个高斯模型的权重且满足
π
k
μ
Σ
k
∑
k
k = 1
( Accelerated Proximal
本文利 用 加 速 临 近 梯 度 法
Gradient，APG)
， ，
高斯模型概率密度函数 μ Σ 是均值和协方差矩阵
．
k
k
，
来求解上述非凸优化问题 迭代过程如
，
为有效拟合随机变量的概率分布 很难直接通过
(
t
) :
下 对于第 次迭代
． EM ( Expectation Maximization)
最大似然求得最优的 Θ
算法是含有隐变量的概率参数模型估计 交替迭代
－ 1
ρ
t － 1
，
E-
y = x +
t
( x － x
)
( 6)
( 7)
t
t
t － 1
ρ
t
step
M-step
．
和
可以求解上述非线性问题
x
= prox ( y －
2
f( y ) )
α
t
t + 1
，g
αt
t
t
2． 2 GMM
先验
4
t
槡
+ 1 + 1
ρ
x， i
对于给定的图像 第 个图像块用
P x
i
，
表示 任意
=
( 8)
ρ
t + 1
2
P x
i
GMM
．
，
可以用
近似描述 为降低计算复杂度 选择
y
，
，
引入 作为中间变量 α 为步长因子 选用线搜索
t
t
GMM
，
中某个高斯分量最佳表示样本 此高斯分量的条
(
)
． f( x)
x
的方法 黄金分割法 自动搜索最优步长
对
求偏
' = p( k| P x)
．
件权重 π
最大
k
i
，
、
:
导 分别得到高斯 泊松噪声干扰下的数据保真项梯度
EM
BSD300
150
本文利用
算法训练
中随机选取的
T
2
f( x) = 4A ［( | Ax | － b) ·Ax］
2
( 9)
，
GMM
幅自然图像 得到不同模型数的
．
用于后续的实验
PCA
| Ax | － b
T
，
基
中 协方差矩阵 Σ 通过特征值分解可以得到
·Ax
k
f( x) = 2A
( 10)
2
(
)
| Ax |
1
3
选取其中 个模型分量的
PCA
PCA
，
基 由图可以看到
图
x
，
， ( 7)
更新 时 根据临近映射的定义 式
等同于求
．
不同的
基具有不同的方向特征
:
解以下优化问题
1
2
2
x
= arg min
x － v
－
logp( P x)
λ
t + 1
t
1
∑
i
{
}
x
2
i
( 11)
，v = y －
f( y ) ，
=
，
α λ 引入辅助变量
z =
i
其中
α
t
λ
t
t
t
1
t
P x，
:
则上式可转化为
1
i
2
J( x，z ) =
x － v
i
t
2
3
GMM
基于
正则化的相位恢复
2
β
2
2
3． 1
GMM
基于
正则化求解框架
+
P x － z
i
－
logp( z )
( 12)
λ
∑
i
1
i
[
]
2
i
，
编码衍射成像系统中 得到的观测值是原始信号
z ，x:
利用交替优化策略分别更新变量
i
:
经随机掩膜调制后的衍射图案
( 1)
x
，
z ， ( 12)
z
中关于 的优化
固定 不变 更新
式
i
i
2
b = | Ax|
( 2)
:
问题可转化为以下约束问题
N
T
，b
R
CDP，A = ( FM ，FM ，…，FM ) ，F
为
其中
∈
为
1
2
L
β
2
P x － z
i
－
logp( z | ， )
μ Σ
k k
z^ = arg min
i
zi
λ
i
2
1
i
，M ，M ，…，M
，L
傅里叶变换矩阵
表示随机照明掩膜
{
}
1
2
L
2
(
CDP)
．
为随机掩膜 或
数
^
s． t． k = arg maxp( k| P x)
( 13)
i
k
，
PR
:
为重构高质量图像 将正则项加到
优化问题中
k，z
:
交替计算
来求解上式的优化问题
i
2
2
min b － | Ax|
+ R( x) ( 3)
λ
2
^
k
^
: k =
，
首先 选择最大的权重所对应的第 个分量
x
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