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基于高阶马尔可夫随机场及非线性压缩感知的相位恢复算法
资料介绍
在编码衍射成像系统中,为精确重构复图像的幅值和相位,需获取大量的编码衍射图样,导致数据采集时间长.为减少编码衍射图样的数量,本文基于非线性压缩感知理论框架,利用高阶马尔可夫随机场统计先验模型,提出了一种鲁棒相位恢复算法.该方法将复图像的幅值和相位分别进行正则化,并将数据保真项与幅值和相位正则项结合作为代价函数,采用Heavy-Ball算法求解所对应的非凸优化问题.实验结果表明,本文算法在编码衍射图样较少的情况下仍能获得较高的图像重构质量,且对噪声鲁棒.
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Vol． 45 No． 9
Sep． 2017
第
期
电
子
学
报
2017
9
ACTA ELECTRONICA SINICA
年
月
基于高阶马尔可夫随机场及
非线性压缩感知的相位恢复算法
，
，
，
练秋生 宋 爽 陈书贞 石保顺
(
，
066004)
燕山大学信息科学与工程学院 河北秦皇岛
:
， ， ，
在编码衍射成像系统中 为精确重构复图像的幅值和相位 需获取大量的编码衍射图样 导致数据采集
摘
要
．
，
，
时间长 为减少编码衍射图样的数量 本文基于非线性压缩感知理论框架 利用高阶马尔可夫随机场统计先验模型 提
，
． ，
出了一种鲁棒相位恢复算法 该方法将复图像的幅值和相位分别进行正则化 并将数据保真项与幅值和相位正则项结
，
合作为代价函数 采用
Heavy-Ball
．
算法求解所对应的非凸优化问题 实验结果表明 本文算法在编码衍射图样较少的
，
，
情况下仍能获得较高的图像重构质量 且对噪声鲁棒
．
:
;
;
;
关键词
中图分类号
URL: http: / /www． ejournal． org． cn
非线性压缩感知 相位恢复 高阶马尔可夫随机场 编码衍射图样
TN911. 73
0372-2112 ( 2017) 09-2210-08
DOI: 10． 3969 /j． issn． 0372-2112． 2017． 09． 023
:
:
A
:
文章编号
文献标识码
电子学报
A Phase Retrieval Algorithm Based on Higher-Order Markov
Random Fields and Nonlinear Compressed Sensing
LIAN Qiu-sheng，SONG Shuang，CHEN Shu-zhen，SHI Bao-shun
( School of Information Science and Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China)
Abstract: To enable prefect reconstruction of the magnitude and phase of the complex images in the coded diffraction
imaging system，many coded diffraction patterns are required，which leads to time consuming of the sampling process． To re-
duce the number of coded diffraction patterns，a robust phase retrieval algorithm which exploits the statistical characteristic of
the higher-order Markov random fields is proposed based on the nonlinear compressed sensing framework． The presented
method regularizes the magnitude and phase separately，and combines the data fidelity term with the regularization terms of
the magnitude and phase to formulate the cost function． Moreover，the heavy-ball algorithm is utilized for solving the corre-
sponding non-convex optimization problem． Experimental results show that the proposed method can achieve high image
quality with fewer coded diffraction patterns，and is robust to noise．
Key words: nonlinear compressed sensing; phase retrieval; higher-order Markov random fields; coded diffraction pat-
tern
． PR
［6］
算法最早可追溯到文献
以保证信号精确重构
1
引言
GS( Gerchberg-Saxton)
，
算法 该算法将光波在物
提出的
面和相面上交替投影 并在两个面上分别施加幅值约
． Fienup GS
( Phase Retrieval，PR)
相位恢复
问题是指仅利用信
，
，
［4］
、
号傅立叶变换或其它线性变换的幅值恢复原始信号
，
算法的基础上加入支撑先验 提出了
束
在
它广泛应用于光学［1，2］ 医学图像处理
衍射成像
［3］
［7］
算法
、
、
( Hybrid Input-Output，HIO)
．
，
混合输入输出
随后
［2］
X
．
、
射线晶体学 等领域 由于相位的全局相位差 空间
，
( Difference
人们提出了一系列改进算法 如差异映射
移位 共轭转置［5］会导致同一个傅里叶变换幅值对应
［8］
、
Map，DM)
( Relaxed Aver-
算法 以及松弛平均交替反射
［9］
算法
，
许多不同的信号 因而
PR
．
问题是病态问题 为了有效
aged Alternating Reflection，RAAR)
．
等
( Compressed Sensing，CS) ［10，11］
，
地解决该病态问题 现有的
PR
算法常常利用先验知识
，
近年来 压缩感知
成
: 2016-06-01;
: 2016-07-11;
:
收稿日期
修回日期
责任编辑 覃怀银
:
( No． 61471313) ;
( No． F2014203076)
基金项目 国家自然科学基金
河北省自然科学基金
2211
9
:
练秋生 基于高阶马尔可夫随机场及非线性压缩感知的相位恢复算法
第
期
性压缩感知框架下［23 ～ 25］ 优化问题
^
变成
．
为研究热点 受
CS
，
理论的启发 学者们将稀疏性引入
，
( 2)
:
［12］
，
x = arg min{ F［b， ( x) ］+ R( x) }
( 3)
到相位恢复问题中 提出了利用信号本身的稀疏性
或信号在变换域［13］ 梯度域［14］下的稀疏性进行相位恢
Φ
λ
x
、
( ·)
其中 Φ
．
表示非线性采样算子
问题是非线性压缩感知问题的一个特例 在编
CDP)
．
复的算法 如
Moravec
( Com-
等人提出的压缩相位恢复
PR
．
［15］
算法
pressive Phase Retrieval，CPR)
，
该算法利用原始
，
(
码衍射成像中 测量值 即
是原始信号经随机掩
l
，
信号的 范数以及支撑先验 寻求满足幅值约束的最
1
，
:
膜调制后傅里叶变换的幅值 其采样算子为
． Shechtman
GESPAR ( Greedy Sparse
优解
等 人 提 出 的
( x) = Ax
( 4)
Ψ 为傅里叶变换矩
CDP)
Φ
［16］
T
Phase Retrieval)
，
算法
该算法利用快速局部搜索算法
A = ( M ， M ，…， M ) ．
其中
Ψ
Ψ
Ψ
1
2
t
，
-
更新支撑信息 并利用阻尼高斯 牛顿算法最小化误差
，M
i
，t
(
阵
为第 个随机掩膜 为随机掩膜 或
的
i
． Schniter
( Generalized
等人利用广义近似信息传递
函数
．
数量
Approximate Message Passing，GAMP)
求解稀疏信号相位
( 3)
( 4) ，
和式 在编码衍射成像中相位恢复
根据式
恢复问题［17］ 文献
将信号在剪切波变换下的稀疏
．
［13］
:
问题可表示为
^
RAAR
，
算法中 并证明了该算法的有效性
．
先验引入到
x = arg min{ F( b，| Ax | ) + R( x) }
λ
( 5)
x
［14］
，
文献 利用信号在梯度域下的稀疏先验 有效地提
3
FoE
基于
模型及非线性压缩感知的相位
．
高了相位恢复质量
编码衍射成像系统［18］不需要信号的支撑信息且实
恢复算法
，
．
验装置简单 易于实现 为解决编码衍射成像系统中的
3． 1 FoE
模型
自然图像通常具有多个方向的边缘和纹理特征
MRF
，Candes
Wirtinger Flow( WF)
等人提出了
相位恢复问题
算法［19］ 该算法的初始值采用谱方法 并利用梯度下降
，
，
，
，
仅利用四邻域或八邻域的相关信息 无法
而低阶
．
法迭代更新 为了提高算法对噪声的鲁棒性
，Chen
等人
，
捕捉图像大尺度的结构信息 因此
Roth
等人提出了
［20］
［22］
Truncated Wirtinger Flow( TWF)
，
该算法
提出了
算法
FoE
．
(
1
模型
该模型利用一组线性滤波器 如图
所
［26］
，
的初始值采用截断谱方法 并利用截断阈值处理的梯
)
示 描述自然图像的结构信息
．
由于图像的线性滤波
．
度下降法迭代更新 文献
［21］
提出了
Block Kaczmarz
算
，
student-t
响应通常十分陡峭 因而可利用
分布刻画滤波
法［21］ 该算法每次迭代时选取观测矩阵的某一块 并将
响应的概率分布［27］
在
模型下对应的正则项可表
，
，
．
FoE
示为［28］
． WF
、TWF
、Block Kacz-
更新结果进行投影
算法
算法
:
marz
，
算法的迭代过程简单 但精确重构图像时所需的
( Coded Diffraction Pattern，CDP)
．
较多 为
编码衍射图样
了利用较少的
CDP
，
实现图像的重构 本文将高阶马尔
( Markov Random Fields，MRF) ，
可夫随机场
也称专家场
模型［22］的统计特性作为先验知
( Fields of Experts，FoE)
，
识 提出基于
FoE
( Phase Retrieval
Nf
正则化的相位恢复
( x) =
( k * x)
( 6)
， ＞ 0
φ
FoE
θ ρ
i
∑
i
based on Fields of Experts regularization，FoEPR)
．
算法
i = 1
N
其中 表示滤波器的个数
，k
i
表示第 个滤波器 θ
f
i
i
2
非线性压缩感知
i
表示第 个滤波器的权重
N
，*
．
表示卷积 函数 ρ
( k * x)
i
CS
．
理论利用稀疏先验从测量值中恢复原始信号
2
=
［( k * x) ］，
其中 ρ
( u) = log( 1 + u ) ，N
x
ρ
表示
∑
i
m
，
x
在线性压缩感知框架下 重构信号 的问题可描述为
:
m = 1
2
^
x = arg minR( x) s． t．
x － b
Φ
( 1)
，b
≤ε
．
2
中像素的总个数
x
3． 2 Heavy-Ball
R( x)
．
蕴含着信号的先验知识 Φ 为观测矩阵
算法
目前求解非凸优化问题的算法主要有交替方向乘
其中
为
． ．
测量值 ε 为与噪声有关的参数 根据拉格朗日乘子法
( Alternating Direction Method of Multipliers，
子 法
( 1)
:
转化为无约束优化问题
^
将式
其中
［30］
ADMM) ［29］、Ipiano
、Heavy-Ball
( HBM) ［31］
x = arg min{ F( b， x) + R( x) }
( 2)
， ＞ 0
为
算法
算法
Φ
λ
x
． HBM
，
等
算法在梯度下降法的基础上加入惯性项 具有
F( b， x)
Φ
，R( x)
为正则项 λ
为数据保真项
［31］
，
迭代过程简单 收敛性优于梯度下降法等优点
，
因此
．
正则化参数
在线性观测系统下 测量值是原始信号的线性变
HBM
( 5)
^
．
本文采用
算法求解式
的非凸优化问题
，
: x = arg minf( x) ，
HBM
对于无约束优化问题
采用
． ，
换 但在衍射成像中 仅能得到原始信号的非线性采样
x
:
算法求解该问题的过程为
， CCD
值 如
．
相机仅记录信号傅里叶变换的幅值 在非线
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