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正交匹配追踪算法
资料介绍
一、算法概述
正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法是压缩感知领域最经典的贪婪类重构算法之一，由Y. C. Pati等人于1993年正式提出，核心目标是从高维欠定线性系统中求解稀疏最优解，解决传统信号处理中“奈奎斯特采样定律”对采样率要求过高的痛点。
在压缩感知框架中，若长度为(N)的原始信号(\boxed{x})在某组正交基下具有(K)-稀疏性（即仅(K)个非零元素，(K\ll N)），则可通过
（(K<M<N)）阶测量矩阵将高维信号投影到低维空间，得到测量值，其中(\boxed{e})为观测噪声。正交匹配追踪算法的任务就是在已知测量值(\boxed{y})和测量矩阵的前提下，以尽可能低的计算复杂度准确重构出原始稀疏信号(\boxed{x})。
与早期的匹配追踪（Matching Pursuit，MP）算法相比，OMP算法核心改进是每次迭代对已选中的原子集合做正交化处理，保证残差在后续迭代中与已选原子正交，避免了MP算法可能出现的重复选择同一原子的问题，因此收敛速度更快，重构精度更高，被广泛应用于信号重构、图像处理、信道估计、特征选择等领域。
二、算法核心原理
基本概念定义
1. 原子：测量矩阵的每个列向量称为一个原子，原子的单位长度一般归一化为1。
2. 支撑集：原始稀疏信号(\boxed{x})中非零元素对应的索引集合，也叫原子支撑集，OMP算法的迭代过程本质就是不断逼近真实支撑集的过程。
3. 残差：当前已选原子对测量值(\boxed{y})做线性逼近后剩余的部分，初始残差为测量值本身，迭代过程中残差的能量会不断下降，当残差能量小于设定阈值或迭代次数达到稀疏度(K)时算法停止。
正交化的核心作用
匹配追踪算法每次迭代只选择与当前残差内积绝对值最大的原子加入支撑集，但不对已选原子做正交处理，因此残差仅在当前选择方向上做更新，已选原子在后续迭代中仍然可能被再次选中，导致迭代次数增多，重构精度下降。
OMP算法通过施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）将每次新加入的原子与之前所有已选原子做正交处理，保证新残差与所有已选原子正交，从根本上避免了重复选原子的问题，并且能够保证每一步迭代都是当前最优选择，最终得到观测信号在原子空间上的最优稀疏逼近。
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