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等距映射-非线性降维算法
资料介绍
一、基本概念
等距映射（Isometric Mapping，简称Isomap）是一种非线性降维算法，由Tenenbaum等人于2000年提出。其核心思想是通过保留数据点之间的测地距离（Geodesic Distance）来实现高维数据到低维空间的映射，从而揭示数据的内在几何结构。
与传统的主成分分析（PCA）等线性降维方法不同，Isomap适用于处理具有非线性结构的数据，如流形（Manifold）数据。它假设高维数据点位于一个低维流形上，通过计算流形上的测地距离来替代高维空间中的欧氏距离，进而实现降维。
二、算法步骤
Isomap算法主要包括以下三个步骤：
（一）构建邻接图
首先，需要确定数据点之间的邻接关系，常用的方法有两种：
ε-邻域法：对于每个数据点，将距离小于等于ε的所有点视为其邻居。
K-近邻法：对于每个数据点，选取距离最近的K个点作为其邻居。
构建邻接图时，通常将邻居之间的边权重设为高维空间中的欧氏距离。
（二）计算测地距离
在构建好的邻接图上，计算任意两个数据点之间的最短路径，该最短路径即为流形上的测地距离近似值。常用的最短路径算法包括Dijkstra算法（适用于单源最短路径）和Floyd-Warshall算法（适用于所有点对之间的最短路径）。
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