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源于割圆术的Pi值算法设计与Python实现

更新时间：2019-12-24 16:17:16 大小：2M 上传用户：songhuahua查看TA发布的资源 标签：pi算法python 下载积分：1分 评价赚积分 （如何评价?） 打赏 收藏 评论(0) 举报

资料介绍

本文设计了一种计算圆周率Pi的算法,并编制了Python程序加以实现和验证。此算法源于中国古代刘徽首创的割圆术。通过迭代计算的逐步推导,从周长和面积两个角度具体阐述算法的内容,并依据误差估计从理论层面证明算法的正确性。之后给出简要的算法描述,并据此完成代码编写。依次在不同的Pi精度要求下运行通过,从实践层面实现算法并验证其正确性;实际测算了程序的运行耗时和误差表现,直观反映出算法的计算效率和计算精度。


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源于割圆术的Pi值算法设计与Python实现.pdf 2M

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: ， ． Pi  
文献引用格式 王少青 吕洁 源于割圆术的 值算法设计与  
Python  
［J］．  
实现  
，2018，42( 10) : 77 － 80．  
电声技术  
WANG S Q，LV J． Design and Python Implementation of Pi Value Algorithms Derived from Circle Cutting［J］． Audio  
engineering，2018，42( 10) : 77 － 80．  
: TP399 : B  
DOI: 10． 16311 /j． audioe． 2018． 10． 018  
中图分类号  
文献标志码  
Pi  
源于割圆术的 值算法设计与  
Python  
实现  
，
王少青 吕  
洁
(
，
嘉兴南洋职业技术学院 浙江 嘉兴  
314000)  
: Pi ，  
摘要 本文设计了一种计算圆周率 的算法 并编制了  
Python  
。
程序加以实现和验证 此算法源于中国古代刘徽首  
。 ， ，  
创的割圆术 通过迭代计算的逐步推导 从周长和面积两个角度具体阐述算法的内容 并依据误差估计从理论层面  
。 ， 。 Pi ，  
证明算法的正确性 之后给出简要的算法描述 并据此完成代码编写 依次在不同的 精度要求下运行通过 从  
; ，  
实践层面实现算法并验证其正确性 实际测算了程序的运行耗时和误差表现 直观反映出算法的计算效率和计算  
。
精度  
; Python  
关键词 割圆术 圆周率 算法设计 内接正多边形  
:
;
;
;
Design and Python Implementation of Pi Value Algorithms Derived from Circle Cutting  
WANG Shaoqing，LV Jie  
( Jiaxing NanyangPolytechinic Institute，Jiaxing，Zhejiang，314000)  
Abstract: This paper designs an algorithm for calculating Pi，and compiles a Python program to implement and verify it．  
This algorithm originated from the circle cutting technique initiated by Liu Hui in ancient China． Through the gradual deri-  
vation of iteration calculation，the content of the algorithm is elaborated from the perimeter and area，and the correctness of  
the algorithm is proved from the theoretical level based on error estimation． Then a brief description of the algorithm is given，  
and the code is written accordingly． It runs under different Pi precision requirements，realizes the algorithm from the practi-  
cal level and verifies its correctness． It calculates the running time and error performance of the program，which directly re-  
flects the calculation efficiency and accuracy of the algorithm．  
Key words: Circle Cutting; Pi; Algorithm Design; Inline Regular Polygon; Python．  
，
以正十二边形的每一个边为底 分别作顶点在圆周  
1
Pi  
源于割圆术的  
值算法的理论  
， 。  
上的等腰三角形 即得到内接正二十四边形 如此  
n
基础  
3 × 2 ( n = 1，2． 3…)  
做下去即可依次得到边数为  
的
n
。
圆的内接正多边形 记正  
3 × 2  
b ，  
边形的边长为  
n
1． 1  
引言  
A 。 a = A  
设
n + 1  
－ A  
表示新增等腰三角形  
n
面积为  
3 ，  
公元 世纪 魏晋时期数学家刘徽首创割圆  
n
n + 1  
，
的面积之和 周长记为  
C 。  
n
:
显然  
，
术 为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算  
n
。
，
所谓割圆术 就是不断倍增圆内接正多边形的  
法
n
A
=
a ，C = 3 × 2 × b  
n n  
( 1)  
n
∑
n
［1］  
i = 1  
。
边数求出圆周率的方法  
{ A } { C }  
和
n
，
都是单调有界数列 必然存在极  
n
1
，
。
A，  
考察半径为 的圆 即单位圆 设其面积为  
C。 ，A = ，C = 2 。  
作圆的内接正六边  
。
{ C } ，  
可根据三角形两边之和大于第三边  
限
关于  
的性质得出  
limA = A，limC = C  
n
周长为  
显然  
π
π
C
＞ C 。  
:
不难得出  
n + 1  
n
，
形 其边长记为  
b ， A a = A  
面积记为 且设 周长记  
1
1
1
1 ，  
( 2)  
n
n
C 。  
1
，
以正六边形的每一边为底 分别作顶点在圆  
n
n
→
!
!
为
→
，
前面已提到 对于单位圆而言  
，A = ，C = 2 ，  
π π  
， 。  
周上的等腰三角形 得圆的内接正十二边形 记这  
:
因而  
a ，  
正十二边形的边  
2
六个等腰三角形的面积之和为  
limA  
=
，limC = 2  
n
n
→
( 3)  
π
π
n
b ，  
面积为  
2
A ，  
周长为  
2
C ， A = A + a 。  
显然 再  
2
长为  
2
2
1
n
!
!
→
77  
2
2
， ，  
事实上 从圆的内接正四边形出发 也可以得  
b
b
n
n
(
)
(
)
A
2
2
。
到类似的结果  
1． 2  
n
*
2
A
－ A = A  
n
＜ A  
=
b
n
n
n
n
2
2
3
b
b
n
1
迭代计算的理论推导  
1 － (  
)
1 － (  
)
2
2
3
槡
3 3  
槡
b
= 1，a = A = 6·  
1 1  
=
( 4)  
1
( 15)  
4
2
A
n
2
e
=
b
不妨估计误差  
n
n
3
2
{ A }  
n
，limb = 0  
n
n
有界  
!
→
*
lim( A － A ) = 0，lime = 0  
n n n  
n
→
所以  
n
!
!
→
n
*
3 × 2  
C
，
设单位圆的外切正  
则误差  
边形的周长为  
n
*
*
e
= | 2 － C | = C － C ＜ C － C  
π
n
( 16)  
n
n
n
n
1
:
图
根据相似形的性质可知  
2
n
C
b
1
如图 左图所示 设  
， AC  
3 × 2  
是正  
边形的边长  
OD  
OC  
n
n
=
=
1 － (  
)
( 17)  
*
n + 1  
2
C
槡
b ，AB  
n
3 × 2  
b
边形的边长  
n + 1  
。
n
是正  
2
b
b
n
n
AD = ，AO = 1  
( 5)  
1 － 1 － (  
)
2
2
*
槡
C
－
C
=
C
=
C
n
n
n
n
2
2
b
n
b
n
2
2
1 － (  
)
OD = AO － AD  
槡
=
1 － (  
)
( 6)  
2
槡
2
槡
2
b
n
2
(
)
b
n
2
2
2
2
BD = AB － AD  
槡
=
b
－ (  
)
( 7)  
n+1  
2
2
2
槡
b
b
n
n
1 － ( ) ·( 1 + 1 － ( ) )  
BD + OD = BO = 1  
( 8)  
2
2
槡
槡
2
2
2
b
b
b
n
n
2
n
b
－ (  
)
+
1 － (  
)
= 1  
( 9)  
(
)
n+1  
2
2
2
槡
槡
＜
C
=
n
2
2
2
2
b
b
1
1
b
= 2 － 4 － b  
槡
( 10)  
n+1  
n
1 － ( ) ·( 1 + 1 － ( ) )  
2
2
槡
槡
1
1
n
a
=
AC·BD·3·2  
=
AC·( 1 － OD)  
n+1  
C
C
n
n
2
2
2
2
b
＜
b
( 18)  
n
n
5
3( 2 + 3)  
槡 槡  
2
b
1
n
n
n
2
·3·2  
=
·b ·( 1 － 1 － ( ) ) ·3·2 =  
n
2
{ C }  
n
， limb = 0 ，  
有界 且  
n
2
n
!
→
槡
*
*
lim( C － C ) = 0，lime = 0  
n n n  
n
→
所以  
3
2
n
n
!
!
→
b b ·2  
n n+1  
( 11)  
4
C
n
*
2
e
=
b
不妨估计误差  
n+1  
n
n
5
A
=
a
= A + a  
n
( 12)  
n+1  
∑
n
n+1  
*
2
i = 1  
e
e
b
都与 成正比例  
n
和
n
n
1． 3  
误差估计  
设单位圆的外切正  
{ A } { C }  
和
n
。
所以  
具有相同量级的收敛速度  
n
n
*
3 × 2  
A
，
则
边形的面积为  
n
2
算法精要  
:
误差  
*
e
= |  
－ A | = A － A ＜ A － A  
n n n  
( 13)  
边形在  
π
2． 1  
{ C }  
n
Pi  
计算圆周率 的值  
n
n
通过周长  
n
n
2
2
3 × 2  
3 × 2  
边形与内接正  
圆的外切正  
b
= 1，b  
= 2 － 4 － b ( 19)  
n
槡
1
n+1  
， 1  
几何上是相似的 如图 右图所示  
。
Pi  
:
的近似值和误差估计  
2
2
A
b
OD  
n
n
1
n
= (  
)
= 1 － (  
)
( 14)  
Pi  
=
C
= 3 × 2 × b ( 20)  
n+1  
*
n+1  
n+1  
OC  
2
A
2
n
78  

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