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基于双正交小波变换的矩不变量
资料介绍
寻找相对于尺度、平移、旋转不变的小波不变量是多尺度分析在模式识别中的关键问题.矩是一种理论和应用上比较成熟的方法,本文将矩与多尺度小波分解的近似系数联系起来,利用空间基函数的双正交性推导得到了双正交小波矩不变量,并用实验验证了结果的正确性.同时以Haar小波为例对结论中的限制条件进行了理论分析和实验验证,结果表明可以计算高于平滑阶数的小波矩,且计算精度符合要求.由此获得了比较完善的理论和实验结果,最后指出了它在实际应用中所需注意的问题.
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Vol． 45 No． 4
Apr． 2017
第
期
电
子
学
报
2017
4
ACTA ELECTRONICA SINICA
年
月
基于双正交小波变换的矩不变量
，
刘 斌 高 强
(
，
湖北大学计算机与信息工程学院 湖北武汉
430062)
:
、 、 ．
寻找相对于尺度 平移 旋转不变的小波不变量是多尺度分析在模式识别中的关键问题 矩是一种理论
摘
要
， ，
和应用上比较成熟的方法 本文将矩与多尺度小波分解的近似系数联系起来 利用空间基函数的双正交性推导得到了
， ．
双正交小波矩不变量 并用实验验证了结果的正确性 同时以
Haar
小波为例对结论中的限制条件进行了理论分析和
， ， ．
实验验证 结果表明可以计算高于平滑阶数的小波矩 且计算精度符合要求 由此获得了比较完善的理论和实验结果
，
．
最后指出了它在实际应用中所需注意的问题
:
;
;
;
;
关键词
中图分类号
URL: http: / /www． ejournal． org． cn
模式识别 多尺度分析 双正交小波 不变矩 平滑性
:
TP391. 41
:
A
: 0372-2112 ( 2017) 04-0826-06
DOI: 10． 3969 /j． issn． 0372-2112． 2017． 04． 009
文献标识码
文章编号
电子学报
Moment Invariants Based on Biorthogonal Wavelet Transform
LIU Bin，GAO Qiang
( School of Computer and Information Engineering，Hubei University，Wuhan，Hubei 430062，China)
Abstract: It’s a key problem to find wavelet invariants to the transformation of scale，translation and rotation in pat-
tern recognition using multi-resolution analysis． Moment invariant is a mature method on theory and applications． This paper
links the moment invariants with the approximation coefficients of image wavelet decomposition． A novel biorthogonal wave-
let moment invariant is derived from the biorthogonality of the spatial basis functions． The experimental results are also pro-
vided to confirm the correctness of the theoretical derivation． After that，the limiting condition of the conclusion is analyzed
by taking Haar wavelet as an example． Both theoretical analysis and experimental verification show that the wavelet moments
of higher order than smoothness can be calculated within required accuracy． And the complete theoretical and experimental
results are obtained． Finally，some problems to be paid attention to in practical application are pointed out．
Key words: pattern recognition; multi-scale analysis; biorthogonal wavelets; invariant moment; smoothness
像中提取不变矩作为特征向量进行目标的识别和匹
1
引言
［7］
．
，
矩的计算量大且高阶矩易受噪声影响 这是矩的
配
［1］
在信号及图像处理中利用多尺度的金字塔算法
，
全局处理造成的 为减小计算量人们也提出了一些改
［8，9］
，
可进行多尺度地特征提取与识别 但金字塔分解后各
．
，
图像信息具有局部相关性 利用局部化
善的方法
，
层数据间存在冗余 而多尺度的小波分解算法可使各
分析工具小波将反映全局信息的矩方法也分层局部
［2］
［3 ～ 5］
．
，
化 这样能够结合小波与不变矩的各自特性构造新的
层系数相对独立
由小波及其多分辨率分析理论
，
可知 图像可分解为随尺度分辨率逐级改变的近似信
．
不变量进行更有效地特征提取与识别 在这种指导思
，Shen
，
息和细节信息 它们分别体现了图像的整体轮廓和精
想下
数来代替以期融合小波与矩的优点
矩结合阐明了一维及二维张量积的小波矩不变量
提出了一种小波矩将矩中核函数用小波函
［10］
;
，
细结构 由此理论上可大尺度上分析图像然后逐层细
金琪将小波与
［11］
，
， ．
化进行识别 即多尺度识别 而多尺度识别的关键在于
．
两者是对小波与矩结合的不同尝试
、 、
找到待识别模式在有限个尺度下相对于平移 尺度 旋
［11］ ，
从文献 的理论推导过程可知 其结论是基于
， ，
转变化的不变量 这是不变矩所具备的特性 可利用不
Daubechies
，
小波框架 相应的滤波器可表示为三角
正交
．
变矩理论表征这种不变量
不变矩是比较成熟的理论和方法
，
多项式的形式 而很多小波滤波器无法表示成这种形
，Hu
首次给出了
［12］
［6］
，
式
这样的理论推导结果在实际应用中具有很大的
、
七个具有平移 旋转和尺度不变性的不变矩
，
可从图
: 2015-11-17;
: 2016-07-10;
:
责任编辑 李勇锋
收稿日期
修回日期
:
基金项目 国家自然科学基金面上项目
( No． 61471160，No． 61301144) ;
( No． 2012FFA053)
湖北省自然科学基金重点项目
827
4
:
斌 基于双正交小波变换的矩不变量
第
期
刘
［15］
． ，
局限性 本文提出另一种更简洁明了的证明思路 此证
，
的所有紧支集的正交小波都不具备对称性 这一缺
． Cohen Daubechies
和
，
明过程只需利用空间基函数的双正交性 由此得出不
点使其在某些应用场合表现不佳
Daubechies
，
小波 只要是正交小波甚至双正交小波
，
放宽了正交性条件 构造了正交性较弱 的双 正交 小
仅是
［16］
．
都有相应的结论成立 另外还对推导结果中的限制条
， 、 、
相应的滤波器具有对称性 较高消失矩 数据量
波
，
件进行了理论分析 分析的结论表明可以不受限制地
， ．
小等优点 是信号和图像处理的理想数学工具 双正交
，
计算大于小波平滑阶数的矩不变量 而其计算误差仍
，
小波存在两组对偶的尺度函数和小波 函数 分 别由
珟
H(
，
在正常范围内 且信号数据越长矩值的计算精度越高
，
H(
)
ω 和
)
ω 决定并满足
:
珘
珘
．
＜ ( x － s) ，( x － t) ＞ = ，＜ ( x － s) ，( x － t) ＞ =
δ
s，t
这对于实际应用具有重要意义
φ
φ
δ
ψ
ψ
s，t
珦 珟
W ，V W ．
⊥
j
V
相应的对偶多分辨率序列满足
⊥
j
j
j
2
小波变换及其滤波器平滑性
珓
f( x) 、f( x)
1
R
，
上不恒为常数的函数
定理
设
是
2
m
( l)
f ( x)
L ( R) ， W ( a，b) =
则将积分变换
f
假设
∈
f( x) C ( R) ， l
∈ 且当 ≤
m
，f( x)
l
f ( x)
阶导数 有
时
的
－
珓
f( x) K( 1 + | x | ) ， ＞ m + 1．
α
1
珓
，f( x)
x － b
界
衰减性满足
≤
α
又
－
2
a
f( x)
(
) dx
f( x)
．
的小波变换
ψ
称为函数
∫
j/2
j
j' /2
j'
a
珓 珓
( x) = 2 f( 2 x － k) ，f ( x) = 2 f( 2 x － k') ，
它
f
设
j，k
j'，k'
［17］
( x)
，
称为小波函数 其作伸缩平移可得空间
W = span
j
ψ
们满足双正交关系
j/2
j
{
( x) |
( x) = 2
( 2 x － k) ，j，k Z} ．
ψ ∈ 小波变换存
ψ
ψ
珓
＜ f ，f ＞ =
j'，k'
j，k
j，k
， j，j'，k，k'
δ δ
j，j' k，k'
Z
∈
j，k
( x) ，
它可生成多分辨率逼近序列
V =
j
在尺度函数 φ
l
珓
x f( x) dx = 0，l = 1，2…，m．
则有
j/2
j
∫
span{ ( x) |
φ
j，k
( x) = 2 ( 2 x － k) } ，
φ 且
φ
φ
j，k
珘 珘
( x) 、 ( x)
ψ 分别由
1
( x) 、 ( x)
推论
假设 φ
ψ
和 φ
C ( R)
决定的双正交尺度函
( x) =
2
槡
h
( 2x － n)
( 1)
φ
n
∑
m
n
珟
H(
n
H(
)
C ( R)
)
ω ∈
( x) C ( R) 、 ( x)
数和小波函数 由引理 可得 φ ∈ ψ ∈
和
ω ∈
m
( x) =
2
槡
g
( 2x － n)
φ
( 2)
ψ
，
1
∑
n
n
m
－
α
珘
( x)
和 φ
珘
( x)
ψ
C ( R)
K( 1 + x )
、
K ( 1 +
≤
≤
( 1) 、( 2)
，
称为双尺度方程 同时
V
= V
W ．
⊕ 对式
j
式
j + 1
j
－
α
x )
， 1
则由定理 可得
( 1)
Fourier
两边分别做
变换有
( 2 ) = H( ) )
ω φ ω
l
l
^
φ
^
(
( 3)
珘
珘
( x) dx = 0， x ( x) dx = 0，l = 1，2…，m
ψ
ω
x
φ
∫
∫
－ 1 /2
－ iwn
H( ) = 2
ω
h e ， ( 3)
式 无穷迭代得
n
其中
∑
n
珘
( x) dx = 1， ( x) dx = 0．
φ
珘
ψ
而由小波分析理论有
∫
∫
∞
ω
^
(
φ ω
) = H(
∏
)
( 4)
k
，
同理 双正交小波对偶的尺度函数和小波函数满足
k = 1
2
l
l
H(
) ，
ω 决定了相应的多分辨率分析 而小波的
由此可知
x
( x) dx = 0， x ( x) dx = 0，l = 1，2…，n
ψ
∫
φ
∫
( 5)
H(
) ．
ω 的构造 实际滤波器设计中对
构造则可以转化为
H( )
ω 有平滑性要求 假设
m
( x) dx = 1， ( x) dx = 0．
ψ
∫
φ
，
H(
) C ( R) ，
ω ∈ 即在零点有
∫
m
^
( )
得 φ ω ∈
m
，
次平滑性 由式
( 4)
C ( R) ， ［13］
又由文献
珘
( x) = ( x) ，
φ 小波函数 ψ
( x) =
正交情形下尺度函数 φ
－
α
^
)
而由 φ ω 的
( x) K( 1 + x )
，
(
Fourier
逆
可得 φ
变换显然可得 φ
( x)
≤
珘
( x) ， ．
ψ
1
利用定理 也有同样的推论成立
m
2
( x) C ( R) ．
∈
( 2)
( x)
可由
由式
可知 ψ
f( x) L ( R)
∈
对于任意
作双正交小波分解时有两
f ( x) = A
［14］
，
的线性组合来表示 两者具有相同的光滑性
，
φ
， ．
种分解 方法 这里 仅 列 出 一 种 分 解 式 为
j
m
( x) C ( R) ．
∈
( x)
Fourier
的
则 ψ
同样根据 ψ
变换可得
［13］ ( x) K( 1 +
得 ψ ≤
+
D ，
其中
l
l = S － 1 + j，S
，
为实际分解的尺度数 以
∑
m
^
)
ψ ω ∈
l
j
≥
(
C ( R) ，
于是由文献
－
α
下仅给出一种分解形式
x )
．
，
综上所述 可得引理
1．
珘
( x) ，a ( j) = ＜ f( x) ， ( x) ＞ ;
φ φ
A =
j
a ( j)
n
1
H( ) ， m
ω 时 使其在零点有
∑
j，n
n
j，n
引理
( m N)
在设计滤波器
n
，
次平滑性 则由其决定的尺度函数 φ
( x)
∈
和小
珘
ψ
l，n
D =
l
d ( l)
n
( x) ，d ( l) = ＜ f( x) ， ( x) ＞ ．
ψ
∑
l，n
n
n
( x)
:
波函数 ψ
满足
m
－
α
，
以上是一维的双正交小波分解 而二维情形可由一维
( x) C ( R) ， ( x)
∈ φ
K( 1 + x ) ，K
;
φ
ψ
≤
为常数
2
2
m
－
α
．
作张量积而成 对于二元函数
f( x，y) L ( R ) ，
∈ 将其作
( x) C ( R) ， ( x)
∈ ψ
K( 1 + x ) ， ＞ m + 1．
α
≤
1
f( x，y) = A +
j
( D
二维张量积双正交小波分解可
∑
l
l
j
≥
3
双正交小波分解及其消失矩
2
3
+ D + D ) ，l = S － 1 + j，S
l
，
为分解尺度数 其中
A =
j
l
∑
， 、
众所周知 正交小波具有系数无关 能量守恒等良
m，n
a
( j)
( x，y) ，
φ
，
好性质 尤其是紧支的
Daubechies
正交小波分解回复算
Haar
m，n
m，n
j，m，n
珘
( j) = ＜ f( x，y) ，
φ
j，m，n
a
( x，y) ＞ ;
．
法简单且表达信息充分无冗余 但是除
小波以外
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