投影的原理和傅里叶变换及小波变换

1.前言 投影就是用一束光线将物体照射后在平面内留下的影子，这个影子是物体的一个轮廓。变换指的是傅里叶变换、小波变换等用于分析信号时频特性的数学工具。变换在工程应用中具有非常重要的意义，但其理解往往让人感觉玄乎，导致“知其然而不知其所以然”的使用者大有人在。本文通过从人们所熟知的投影原理入手讲解变换，望给大家以新的启发。 2.投影原理 2.1.维数 我们认识世界，总是从简单到复杂，由浅显到深入。世界万物，多种多样，繁复万千，我们不可能尽知。反而，我们会感觉“知道得越多，不知道的就越多”。这里，我们引入“维数”的概念来表示事物的复杂程度，维数越高，事物越复杂，维数越低，事物越简单。 我们知道：点是零维、线是一维、面是二维、体是三维，这就是我们三维世界。我们生活在三维世界，对三维世界的认知非常深入，且在不断地深入过程中。我们可以改造我们生活的三维世界，做出各种形状和三维物体。但对四维世界我们就显得力不从心了，根据“相对论”，我们开始认识四维世界（三维世界增加时间维度），但我们还无法改造四维世界，因为我们无法改造时间。 即使在我们所熟知的三维世界，也有很多我们无法把控的事物，比如一些看似随机的现象，对这些现象，当我们增加观察的维度时，也许就有了规律。比如“测不准”原理，当我们能掌握某个四维世界时，也许就能对量子状态进行准确测量。 总之，维数代表了事物的复杂程度，也代表了我们认识事物的能力。我们认知能力达到的维数越高，认识的事物就越复杂。 2.2.点的投影 投影是我们认识复杂事物的一种最有效方法，比如我们工程制度，能通过三维视图表示物体的三维投影，从而确定事物的结构特征。下面我们以最简单的点来理解投影。从上到下分别是一维的点、二维的点、三维的点。 一维的点只需要一个坐标轴即可确定其位置。 二维的点需要两个坐标轴确定其位置。 三维的点需要三个坐标轴才能确定其位置。 依次类推，n维的点需要n个坐标轴才能完全确定其位置。 图1 点的投影 2.3.基 在图1中，我们根据点在坐标轴上的投影来确定点的位置，这个投影如何确定呢？我们引入“基”这个概念，基与坐标轴对应。坐标轴我们最多能画出三个，更多维的坐标轴我们画不出来，“基”没有这个限制，我们可以扩展到n维，但只能凭我们的想象，无法用形象的图形来表示。 为了投影计算方便，“基”也是一个与观察点相同维数的东西，我们可以叫它向量（这里的向量可以扩展到所有具有维数的事物，点也可以当作向量看待），一个点在某个“基”上的投影可以通过向量内积的方式来求，求内积的符号是<>。以三维点为例，向量内积的公式如下： 内积就是将它们对应的分量相乘再相加即可。这里注意：因为内积的结果与“基”的本身的模（如基x的模）有关，“基”的模对内积结果有比例放大或缩小的作用，比如： 以x(1,0,0)为基： =2 以x(2,0,0)为基： =4 而我们希望投影是不随“基”的大小而变化，而只把“基”当作是一个“维”（也可理解为方向或坐标轴）上的代表。所以，我们计算投影则还需要在内积的基础上除以“基”的模（或范数），如下： 表示A在x基（坐标轴）上的投影，在图1中，点A（2,4,3）在x基上的投影是2，在y基上的投影是4，在z基上的投影是3。下面我们特别讨论关于“基”的几个问题。 1)“基”的模 由于基本身是一个向量，它的模如下： 首先，模是一个标量而不是向量，可理解为基的大小，内积也是一个标量，所以投影时才能用内积除以模。若我们将基的模归一化，让，则，运算起来就简便多了。我们将的操作叫作归一化。 如果是求A在A上的投影，公式如下： 即A在其自身的投影就为其模，这里必须除以，因为它未归一化。 这里我们再重复两个概念，这对理解变换非常重要： 基的大小：即基的模； 基的方向：基本身除以基的大小(，仅代表基的方向，其大小为1(，即基的大小具有归一化特点。 举例说明：三维坐标基x(2,0,0)的大小，基x(2,0,0)的方向 2)合成 我们知道，在基上的投影已经排除了基大小的影响，投影是一个标量值，要将所有投影合成为原来的事物，还需要乘以基的方向。还是以三维点为例。 所以，根据投影和基的方向，可以将事物分成几部分，每部分对应一个“基”，再将这几部分合成，就还原成的事物了。 这就是变换和逆变换的基本原理。 2.4.正交基 正交基是指所有基都两两正交，即内积为零。比如坐标系中的x、y、z三个基都是两两正交的。在正交基中投影时，各个投影没有重叠部分，最后合成时直接相加即可。 在三维坐标中，我们观察坐标系是否正交可以直接看是否垂直，在更多维基的时候，我们就只有通过“内积是否为零”来判断正交与否了。 2.5.完备性 若通过一组基，可以通过在这组基上的投影完全定义一个事物，我们就说这组基是完备的，否则就是不完备的。 比如三维点，在x、y、z三个正交基上的投影可以完全确定其位置，所以x、y、z这三个基是完备的。若只有x、y这两个基（比如在二维坐系中），则不能完全确定三维点位置，因为有一个坐标是没有投影的，所以对三维事物来说，二维坐标系是不完备的。 针对n维事物，需要至少n维正交基才能完全确定其状态，即n维正交基才是完备的。 有一些特殊的基可以用于确定事物，比如极坐标，通过模量和角度来确定一个二维向量，比如三维坐标系中通过模量和三个欧拉角来确定一个三维向量，比如四元素法通过一个实数和一个三维虚数来表示一个旋转，这些特殊的基在各自的表示空间都具有完备性特点，但由于单位不同不便进行内积运算，但同样可参照投影的思想对其进行研究。 2.6.函数基 上面讲到的基都是数值向量，我们将其扩展到函数，就是我们变换时需要的函数基了。若我们要求一个函数在另一个函数上的投影，怎么求呢？还是采用内积的方式。但在投影之前，我们先要搞清楚函数基的大小和方向： 函数基g(x)的大小：（积分区间需根据函数基的定义区间确定） 函数基g(x)的方向： 要求函数在函数基g(x)上的投影，我们要先求它们的内积，再把内积除于函数基的大小。求内积即把它们对应的值乘起来再相加（因为是连续函数，采用积分）： 该函数在g(x)基上真正的分量还是投影和基的方向相乘： =g 这样，我们就求得了一个函数在基函数上的分量了。若一组函数基是正交且完备的，我们就可将所有这些分量加起来，就能还原为函数f(x)了。 根据前面的介绍，我们不禁要问：函数的维数如何确定呢？如何通过函数维数选择的正交基的个数呢？ 对这个问题得具体分析，不同的函数具有不同的维数，关键看我们能选多少个基去对其进行变换。若三个基就可以实现完全变换，我们就认为它是3维的，若需要四个基才能完成变换，我们就认为它是4维的。所以，一个函数的维数由可完全分解它的函数基维数来确定。这跟我们的认识事物的过程是一样的，对未知的事物，我们开始并不知道它的复杂程度，通过深入认识和分析后，发现我们可通过n维的基去将其完全投影（变换），那么我们就知道了这个事物是n维的。有时我们会将简单的问题复杂化，用高维基去认识低维事物，结果发现有些维数根本可有可无；有时我们又会将复杂事物简单化，用低维基去认识高维事物，当觉得可完全描述它的时候突然又跑出一个无法解释的特例出来。所以认识事物也是一个不个不断收敛的过程，直至找准事物的真正维数，实现其最准确、最简练的描述（投影变换）。 对函数的维数来说，很多都是无限维的，我们使用时并不一定要将其所有投影分量都求出来，只要所求投影分量合成后与原函数误差足够小时，我们就可近似认为对其实现了完全变换。实践证明，这在数据分析和工程应用上是有效且切实可行的。 3.傅里叶变换 3.1.傅里叶函数基 傅里叶发现一组函数基： 这些函数基在区间上两正交，即该函数系中任何两个不同函数积在上的积分为零： 所以在区间上，这组函数基为一组正交基，该组函数基个数为无限，即具有无限维数，所以理论上可以用于对所有函数进行投影变换。因为是傅里叶发现的函数基，所以叫傅里叶变换，这组函数基我们就叫傅里叶函数基（本文原创命名，呵呵！）。下在我们来分析傅里叶函数基的大小和方向： 傅里叶函数基的大小： 傅里叶函数基的方向： 3.2.函数变换 要对函数进行傅里叶变换，我们需要先求函数f(x)在这组傅里叶函数基上的投影分量，然后再将所有分量进行合成（相加）。 在函数基1上的投影分量： 在函数基cosx上的投影分量： 在函数基sinx上的投影分量： 在函数基cosnx上的投影分量： 在函数基sinnx上的投影分量： 所以，f(x)的傅里叶变换就是： 通过上面的变换，我们可以得到傅里叶变换的前提条件是f(x)在区间上可积分的。另外，要进行变换的函数应是周期函数，且周期应不大于2，否则2之外的特征就包含不了了。 3.3.时域和频域 我们知道，傅里叶变换的最大意义就在于将时域函数转变为频域函数，为我们了解信号的频率特性提供了非常有效的手段。为什么傅里叶变换具有如此神奇的特点，下面我们从傅里叶函数入手对其频域特征进行了解。 傅里叶函数基：都是频率不同的周期信号（1可以看作周期无穷大的周期信号），一个函数在这些函数基上的投影分量也成了频率不同的周期信号（正、余弦信号），且投影值越大，表示这个周期信号在全部投影分量中所占的比重就大，见图2所示。 傅里叶函数基只有频率部分不同（根据函数奇偶性，一般正余弦函数不会同时存在），所以反映出来的投影分量也在频率有明显区别，从而可以信号的频域特性进行分析，而这些分析又在工程应用中的通信、滤波、图像等方面非常有用，所以傅里叶变换是函数变换的鼻祖。 图2 傅里叶变换图 3.4.周期不同 前面我们说要进行傅里叶变换，则需函数的周期不大于2，否则函数在2外的值在变换求积分的时候就包含不了，就会造成信号丢失（能量泄漏）。那如果要变换的函数周期大于2时怎么办呢？假设要变换的函数周期是2L，那我们积分就应该在[－L，L]而不是否则就会有信号丢失（或泄漏），而如果积分区间变成，我们还是用原来的傅里叶函数基就不行了，为什么？因为最基本的正交性原则不满足了。举两个例子： 原来但 但 所以，要保证函数基的正交性，我们要将函数基的周期也拉长到2L，周期拉长后的函数基（还是在傅里叶函数基的基础上拉长）如下： 原来的周期是： 现在的周期是： 这样就能保证这组函数基在上两两正交了，即可开展傅里叶变换，变换后的形式如下： 3.5.信号截断和能量泄漏 前面提到的信号丢失，其实我们常称作能量泄漏，在变换过程中如果存在能量泄漏，不可避免地要造成投影变换的误差，下面我们就来分析一下能量泄漏是如何造成的。 通过前面的分析，我们知道傅里叶变换有一个前提：被变换的函数应是周期函数（设定个周期为2L），在这个前提条件下，我们只需分析一个周期的变换，就可扩展到整个函数定义空间，所以我们在投影变换时求积分只计算了区间（如）。当函数周期大于时，如果我们还是只计算区间的积分，显然只计算了这个周期中的一部分，在外的部分就无法投影到了。也就是说，投影变换连一个周期都没有分析完整，再扩展到整个函数定义空间也就不是完整的了，就好比人为截断了一部分函数，从而造成了能量泄漏。见图3所示。 图3 信号截断和能量泄漏 在图3中，函数本来周期是2M，但我们当周期2L（LM时，也会出现能量泄漏（大家可以自已分析一下），只有当L＝nM时，变换后的信号才不会失真。 清楚了信号截断和能量泄漏的由来，大家可能也觉得没什么，认为只要我们按照它本来的周期去进行傅里叶变换就没什么好担心的，但这得有个前提是我们得知道它本来的周期是多少，而这一点在工程上是很难的，再举个例子（见下图4）： 图4 工程信号的傅里叶变换 在图4中，通过真实采样信号我们看不出来它的周期到底是多少，选择一段变换后再进行扩展，就变成了处理后的信号，从上下两幅信号图对比中我们可以看出，还是存在能量泄漏。 那有些人又会提出来，我们只要将观察窗口扩大不就解决了，那扩大到多大呢？是整个信号采样区间吗？其实这些建议理论上是可行的，但也还是有问题，先不说采样区间始终是有限的，不可能完全代替真实信号，只是变换窗口扩大就会马上带来一个现实问题，那就是计算量增加，而这一点往往在工程应用中会要人老命。但话说回来，通过合理选择观察窗口，还是有积极作用的，至少比简单的傅里叶变换要更进一步。 3.6.窗口函数 通过观察窗口，我们可以从一组信号中截取一段信号进行傅里叶投影变换，那这个窗口怎么来选呢？首先，我们要求窗口应具备如下特点： a)使选择的函数泄漏少，最好没有泄漏； b)尽量保持信号的原始信息，没有畸变。 下面我们以最简单的矩形窗来说明窗口函数的特点。矩形窗函数如下： 图5 矩形窗口函数 在进行傅里叶变换时，只需进行将窗口函数与原函数相乘，即相当于将其从原函数值序列中截取了这么一段，其余部分还在，只是都变为零了。

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