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基于Bang-Bang原理的时间最优控制问题求解

更新时间：2019-12-15 15:19:41 大小：318K 上传用户：杨义查看TA发布的资源 标签：时间最优控制遗传算法 下载积分：1分 评价赚积分 （如何评价?） 打赏 收藏 评论(0) 举报

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文档为基于Bang-Bang原理的时间最优控制问题求解总结文档，是一份不错的参考资料，感兴趣的可以下载看看，，，，，，，，，，，，

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基于Bang-Bang原理的时间最优控制问题求解.pdf 318K

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ꢀꢀ第 23卷 ꢀ第 4期  
计 ꢀ算 ꢀ机 ꢀ仿 ꢀ真  
2006年 4月 ꢀꢀ  
(
)
文章编号 : 1006 - 9348 2006 04 - 0163 - 04  
基于 Bang - Bang原理的时间最优控制问题求解  
王晓亮 ,单雪雄  
(
)
上海交通大学工程力学系 ,上海 200030  
摘要 :时间最优控制是工程实践中经常遇到的一类最优控制问题。对于较简单的时间最优控制问题可以应用古典变分法和  
庞特里雅金最大值原理进行分析求解。但在实际问题中 , 能求得解析解的仅是少数。因此 ,有必要寻求一种能够有效求解  
时间最优控制问题的数值方法。在分析时间最优控制问题已有求解方法优缺点的基础上 ,提出基于 Bang - Bang原理和参  
(
)
数最优化方法 遗传算法 - 单纯形法 相结合求解一类仿射系统的时间最优控制问题的方法。对线性阻尼振子问题进行了  
数值仿真 ,结果表明该方法效果良好。  
关键词 :时间最优控制 ;遗传算法 ;单纯形法 ;仿真  
中图分类号 : V 274 ꢀꢀ文献标识码 : A  
T im e - optimal Control Based on Bang - Bang Theory  
WANG Xiao - liang, SHAN Xue - xiong  
(
)
Dept. of Eng. Mechanics, Shanghai Jiaotong Univ. Shanghai 200030, China  
ABSTRACT: Time - op timal control is one of the optimal control p roblem s that often appears in practice. The varia2  
tional method and Maximum Principle can solve the optimal control problem s. A lot of op timal control p roblem s can  
not get the analysis results. So, it is necessary to build a numerical method that can solve optimal control problem s  
very efficiently. In this paper, on the basis of an analysis of the advantages and disadvantages of the existing algo2  
rithm s, we form a method that is composed of the theory of Bang - Bang control and parameters op tim ization method  
(
)
Genetic algorithm - simplexmethod and can solve time - op timal control problem for a kind of system s. Numerical  
simulation for the problem of linear damped oscillator shows the effectiveness of the method.  
KEYWO RD S: Time - optimal control; Genetic algorithm; Simp lex method; Simulation  
划问题 ,最后用最优化的方法寻求最优解 ,这种方法有时会  
引起维数灾难。  
针对上述问题 ,本文根据 Bang - Bang控制原理 ,将共轭  
1ꢀ引言  
时间最优控制是工程实践中经常遇到的一类最优控制  
问题 ,例如简谐震荡器的快速停振问题 ,导弹控制中的快速  
转接问题 ,惯性导航系统中的快速对准问题等。对于较简单  
的时间最优控制问题可以应用古典变分法和庞特里雅金最  
大值原理进行分析求解。但在实际问题中 , 能求得解析解  
的仅是少数。因此 ,有必要寻求一种能够有效求解时间最优  
控制问题的数值方法。时间最优控制问题的计算方法多是  
把变分法和求解非线性规划最优化问题的一些数值方法和  
技术加以改造、移植和拓展而得到的。求解时间最优控制问  
(
变量和最优时间作为参数 ,然后采用一种混合优化算法 遗  
)
传算法 - 单纯形法 对其进行优化 ,使得系统满足终端状态  
的约束条件 ,从而得到时间最优控制问题的解。  
该方法的优点 :该方法需要优化的参数个数为共轭变量  
的个数加上最优时间 ,约束个数为终端受约束状态变量的个  
数。当采用一般的方法即 :将无限维的最优控制问题转化为  
有限维的规划问题 ,得到的待优化的参数和约束条件的个数  
(
)
随着节点个数的增加 计算精度的要求 以变量的个数和控  
制的个数和的幂函数增加 ,有时参数可达到几百个 ,约束也  
有数百个 ,这给参数优化带来了困难。而本文提出的方法相  
对于一般的方法参数要少得多 ,这样有利于提高算法的效率  
和精度。  
(
题的传统方法有很多 如梯度法、牛顿法、共轭梯度法、变尺  
)
度法和 Powell法等 ,但这些算法只能求得局部解。通过参  
数化手段 ,将无穷维的最优控制问题化为有限维的非线性规  
收稿日期 : 2005 - 03 - 06  
— 163 —  
3
3
3
q
n
(
(
)
)
5gi  
x
t
, t  
3
f
f
f
ψ (  
)
μ
i , k = 1, 2, , n - 1 +  
t
= -  
k
2ꢀBang - Bang控制原理与参数优化方法  
i =1  
i =1  
q
5xk  
2. 1ꢀBang - Bang控制原理 [ 1]  
设有如下仿射系统的状态方程 :  
r
n
3
3
3
3
3
3
3
3
(
(
(
)
)ψ (  
)
(
(
(
)
)ψ (  
)
t | =  
f
fi  
x
t
, t  
t
+
|
bij  
x
t
, t  
f
f
i
f
f
f
i
j=1 i =1  
i =1  
3
3
3
(
)
)
5gi  
x
t
, t  
f
f
3
3
3
f
( )  
xÛ= f x +B  
( )  
x
(
)
(
(
)
)
u, ꢀx  
t
= x0  
1
2
0
μ
(
)
)
g
x
t
, t  
= 0,  
i
f
5t  
f
其中  
ψ (  
) ( )  
0 , k = 1, 2, , n 和  
本文以初始状态的共轭变量  
fT x, t = [ f1 x , f2 x , fn  
]
k
(
)
( )  
( )  
( )  
x
时间 t 作为待优化的参数 ,通过参数优化方法对其进行优化  
f
( )  
x
(
( ) )  
x , i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , r;  
B
=
bij  
(
) ( ) (  
)
使得在 [0, t ]上采用  
5
6
7 式进行积分使得终端状态满  
f
控制约束  
足
u
Ur  
)
3
3
3
f
(
(
)
)
= 0。  
g
x
t
, t  
f
其中  
2. 2ꢀ参数优化方法 [ 6]  
Ur = { u | uT  
目标集  
S> {  
性能指标  
=
u1 , u2 , , ur | ui | 1, i = 1, 2, , r}  
(
近年来 ,已经有许多计算参数优化问题的数值计算方  
法。本文采用一种混合的遗传算法解决上述的时间最优控  
制问题。该方法是由遗传算法和单纯型法构成的。遗传算  
法可以对问题可行空间进行全局搜索 ,而单纯型法可以增强  
局部搜索能力。这种方法可以有效的提高全局和局部搜索  
能力 ,进而得到问题的全局最优解。  
, t = 0, g Rp }  
3
4
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
x
t
f
, t | g  
f
x
t
f
f
t
J [ u · ] = ∫ f 1dt  
(
)
t
0
采用最大值原理对上述仿射系统经过推导可得到如下  
这种方法的伪代码如下 :  
(
)
:
定理 Bang - Bang原理  
POP: =随机产生初始群体  
定理 1:  
ꢀREPEAT  
( )  
fm in ,Vm in : =群体中的最优个体  
)
(
)
(
)
(
) (  
)
1 fi x, t , bij x, t , gk x, t i = 1, 2, , n ; j = 1, 2,  
,
(
)
遗传繁殖阶段  
)
r; k = 1, 2, , q 关于变元都是连续可微的。  
选择  
交叉  
变异  
5fi 5fi 5bij 5bij  
5x 5t 5x 5t  
)
(
)
(
)
(
i = 1, 2, , n; j = 1,  
2 fi x, t , bij x, t ,  
,
,
,
)
2, , r 都是有界的。  
(
)
增强阶段  
ꢀꢀV0 : =群体中较好的 n + 1个个体  
REPEAT  
3
记 u3 t 是快速控制 , x t 是相应的轨迹 ,  
( )  
( )  
ψ( )  
t 是共轭  
变量 , t3 是最优终端时刻。如果快速控制问题 1 ～ 4 是  
(
)
( )  
f
正则的 ,则快速控制 u3 t 为 :  
( )  
(
ꢀ 几何移动  
)
n
反射  
扩展  
缩小  
缩边  
3
(
(
( ) )ψ ( )  
t , t  
bi1  
bi2  
x
t
i
u13  
u23  
i =1  
n
3
( ) )ψ ( )  
t , t  
x
t
i
u3  
t
=
= S ign  
i =1  
( )  
ꢀꢀꢀ  
ꢀUNTIL 终止条件  
u3r  
n
3
(
)
ꢀREPLACEMENT 代替 n + 1个最劣个体  
UNTIL 终止条件  
(
( ) )ψ ( )  
bir  
x
t , t  
t
i
i =1  
> S ign[B T  
而 x3 t ,  
x
t
], t [ t , t3  
]
5
6
3
(
( ) )ψ( )  
t , t  
(
(
)
)
0
f
该方法的主要模块有 :初始化参数 ,产生初始群体 ,产生  
新个体 ,对较好的个体进行优化 ,输出最优解。  
3
( ) ψ( ) μ  
t , 和 t 满足如下方程 :  
f
3
k
3
( )  
(
( ) )  
t , t +  
xÛ t = fk  
x
遗传繁殖 :该过程以分布在整个空间的若干个个体作为  
r
n
(
遗传繁殖的初始群体 ,然后通过三种遗传操作 选择、交叉和  
3
3
(
( )  
)
(
( ) )ψ ( )  
t , t  
bkj  
x
t , t S ign{ bij  
x
t }  
i
j =1  
i =1  
)
变异 得到新的个体。一旦新个体通过选择、交叉和变异产  
(
)
= xkt0  
xk  
t
0
生 ,就对其目标函数的值进行计算 ,然后进行局部优化 ,循环  
执行这一系列过程。当满足下列条件之一时终止程序 :  
3
n
·
(
( ) )  
t , t  
5fi  
x
ψ ( )  
ψ ( )  
t
= -  
t
-
k
i
i =1  
5xk  
)
1 达到最大的代数 MaxGen ;  
3
r
n
n
)
2 个 体 之 间 的 差 异 即 每 个 个 体 Indi 到 最 优 个 体  
(
( ) )  
t , t  
5bij  
x
3
(
( ) )ψ ( )  
t , t  
ψ ( )  
t }  
(
)
{ S ign[ bij  
x
t
]
i =1  
7
i
i
j =1  
i =1  
5xk  
BestPoint的距离的和的平均数小于一个事先给定的小量  
— 164 —  

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