数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后，需要修的第一门课，也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专
业的朋友们是个陌生的概念，如果身边有人问我数学分析学什么？我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分，那么似乎所有
人都会接着提一个问题： 那和我们学的微积分有什么差异？为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊？囧
问题就不容易回答了，于是我只能应付说学得细了，但其实并非仅仅如此。
... ... 这个
对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的，正因为如此，起先学分析完全是乱学，没有重点没有次
序的模仿，其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤砣，只要有一点断开，整个知识系统顿时倾
覆。我也一直在思考这个问题，但直到在北师大跟着王昆扬老师学了一学期实变函数论之后，我才意识到数分与高数真
正的区别在于何处。
先从微积分说起，在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的，其知识结构非常清晰，主要内容就
是要说清两件事：第一件介绍两种运算，求导与求不定积分，并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积
分学，并且给出它们之间的联系 ——Newton-Leibniz 公式。这里需要强调的是，求不定积分作为求导数的逆运算属于微
分学而不属于积分学， 真正属于积分学的是 Riemann 定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字， 但从数学定义
来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，而
Riemann 定积分则是求 Riemann 和的极限，事实上它们之
间毫无关系，既存在着没有原函数但
Riemann 可积的函数，也存在着有原函数但 Riemann 不可积的函数。但无论如何
Newton-Leibniz 公式好比一座桥梁沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是
Newton-Leibniz 公式被称为
微积分基本定理的原因。因此我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本
定理而已。
对于高等数学要求的层面就要比微积分高一些了，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要
的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识更要学生
理解各个数学概念的实际意义是什么。比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，
求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的，对于不易积分，不易求导的实际问题，我们怎么
去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念， 例如将不易找到原函数的函数进行 Taylor 展开再逐项积， 再
例如利用 Newton 差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，是故高等数学对学生的
计算能力要求非常高。于是高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义，熟练运用数学工具求导求积
分，会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。
而数学分析与以上两门课程有着本质的区别，数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是
分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析
的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初
等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的
就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的
函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：变限积分（尽管
Riemann 可积函数的变限积分也是连续的）与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数
项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有
界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，
对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等代数有
明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。
记得在学习数学分析的时候，我曾经查阅过
Liouville 和 Chebyshev 的文章，特意去了解那些不具有初等原函数的
初等函数。当时去看这些文章的初衷主要是觉得这样的函数太神奇，太不可思议了。对于其中不懂的问题，我曾经请教
过老师，但没想到会招来老师极度的不满： “你研究这个毫无意义，你之所以觉得这种函数有趣，是因为你脑子里对初等
函数与复杂函数还是有明显的界限，说明你没学懂，如果你把数学分析真的学懂了，你就会认识到研究这种问题，就和
讨论 Sin(x) 为什么不是 Ln(x) 一模一样的无聊 ... ... 我正”是在听完这句话之后才恍然大悟的。
全部评论(1)
2022-10-18 10:26:06liutianchi020
很中肯的评价，有种拨云见日的感觉